賭博有“公平”嗎?
千百年來,賭場的賭博把戲變化是千千萬萬,結果卻是幾乎無一例外的賭徒“久賭必輸”。
賭的次數越多,輸光籌碼的可能性越大,這一現象似乎是賭場的“魔咒”。
那麼,“久賭必輸”是這一“魔咒”否有科學的依據呢?答案是肯定的!
首先,我們看一個看似“公平”的賭博遊戲:
假如有一個賭博遊戲,這個遊戲非常公平---每一局賭徒都有50%的概率會贏,如果他贏了,就能拿到1元錢;有50%概率會輸,輸了就輸1元錢。
那這是否意味著賭徒和莊家有公平的地位呢?
答案是否定的!
即便是這樣的一個遊戲,賭徒只要一直玩下去,他將百分之百輸光所有身家!---這就是賭徒輸光問題。
賭徒輸光問題
下面用數學證明--只要持續賭下去,賭徒一定會輸光:
首先,這個賭博遊戲是一個隨機過程,即每賭一局都有50%的概率能拿到1元錢也有50%的概率失去1元錢,沒有暗箱操作。
假設賭徒有本金A元,要結束這個遊戲,賭徒只有2種可能:
a.賭徒輸光了所有身家,遊戲終止,此為壞的結果,即Bad Ending;
b.賭徒一直贏到了B元(B大於A),達到了所謂的“目標收益”,退出遊戲,此為好的結果,即Good Ending。
那麼,他有多大可能會在輸到0元的時候退出?又有多大可能在贏到B元的時候退出?
我們把賭徒所有金額0-B元按照一列數,列在座標軸上等差分佈,相鄰每格差1元,如下圖:
賭局開始時,第一局賭徒本金從A變成A-1元(輸)和從A元變成A+1元(贏)的概率都是50%。
而第二局可能從A-1元繼續輸到A-2元,也可能從A-1元贏回到A元,這都是隨機的。
那麼,這樣的規則下,有多大概率會輸到0元?
“久賭必輸”的數學論證
假設賭徒在有n元的時候,輸光的概率為P(n),那麼這個P(n)如何計算呢?
很簡單,用初中數學知識就足矣:
第一步,假設現在賭徒有A元,那他輸光的概率為P(A),但是下一次他輸到A-1元的概率是50%,贏到A+1元的概率也是50%;
第二步,到了A-1元的位置,輸光概率就變成了P(A-1);到了A+1元的位置,輸光的概率就變成了P(A+1);
所以,P(A)=P(A-1)/2+P(A+1)/2.
因此,任何時候賭徒從所剩本金n元輸光的概率都是:
P(n)=P(n-1)/2+P(n+1)/2
上面的等式變換一下就是:
2*P(n)=P(n-1)+P(n+1)
移項再變化一下就是:
P(n)-P(n-1)=P(n+1)-P(n)。
數列的相鄰兩項之差相等,說明這數列是等差數列。
然後,我們很容易知道的是:
賭徒在剩下0元的時候,輸光的概率為100%,沒錢可賭了嘛,即P(0)=1;
賭徒在贏到B元的時候,輸光的概率為0,達到目標收益了嘛,不玩了,即P(B)=0;
所以有:0到B的數列是等差數列,相鄰兩項的概率差是相等的,同時知道第一項P(0)=1,最後一項P(B)=0,所以公差就是每兩項質量的概率差△P=1/B.
這樣一來,我們得到賭徒輸光的概率是:
P(A)=1-Ax△P=(B-A)/B。
上式中,A是賭徒一開始的本金,B就是他要贏到的金錢數額,(B-A)就是想要賺到的錢。
討論---賭得越多,輸得精光
上面這個這個式子能告訴我們什麼道理呢? 接下來就通過對這個式子進行一些討論去理解:
首先假設這個賭徒有本金A=100元,那麼:
1)如果他希望贏到120元,那他輸光的概率是:
P(光)=(120-100)/120=1/6,
而贏到120元的概率我們稱之為P(好),那麼
P(好)=1-P(光)=5/6;
由此可見,這時候還是有很大可能去贏到120元的。
2)如果他希望贏到200元,那他輸光的概率是:
P(光)=(200-100)/200=1/2,
而贏到200元的概率
P(好)=1-P(光)=1/2;
也就是說,這時候,他有一半可能輸光。
3)如果他希望贏到1000元,那他輸光的概率是:
P(光)=(1000-100)/1000=90%,
而贏到1000元的概率P(好)=1-P(光)=10%;
這種情況下,他有極大概率會輸光。
4)。。。。。
根據上面的討論我們知道,只要賭徒一直玩下去,即B一直趨向於無窮大,賭徒才收手,那麼P(光)≈1,也就是一定會輸光所有本金!
這就是所謂的“久賭必輸”!
實際上這種情況生活中十分常見:
比如你跟賭場老闆對賭,即便有上面這樣的公平遊戲,由於賭場資金量非常大,賭徒基本沒有可能把賭場搞破產,相反的,賭徒最終會輸光離場。
比如我們炒股票的時候,假如我們想賺20%就走,那是很容易的,而如果你反覆交易,想要賺1倍再走,那很有可能就會輸光。而如果你想加10倍槓桿,那你會發現,你有極大概率會輸光本金。
貪婪,才是最大的敵人
賭場中的貪婪心理是導致輸光離場的首要因素,從數學上就註定了作為資金薄弱的一方--久賭,必輸!
就如同普希金的《漁夫和金魚的故事》中這個故事結局一樣----漁夫救了神奇的金魚,金魚滿足了漁夫的大部分願望,但是漁夫老婆貪得無厭,想向金魚索取更多,最終貪婪的漁夫一家一無所獲,又回到了最初貧窮的起點。
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