命题1.16
任意三角形，其任意一边的延长线所形成的外角大于任意不相邻的内角。
设：ABC为任意三角形，延长BC边至D。
求证：∠ACD大于∠CBA或∠BAC。
在AC上取E点，使之平分AC（命题1.10）；
命题1.10 一条线段可以被分成两条相等的线段。
连接BE（公设1.1），
公设1.1 过两点可以作一条直线。
并延长至F（公设1.2），
公设1.2 直线可以向两端无限延伸。
使EF等于BE（命题1.3），
命题1.3 给定两条不等线段，可以在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段。
连接FC（公设1.1），
延长AC至G（公设1.2）；
因为：AE等于EC，BE等于EF，∠AEB等于∠FEC（命题1.15）；
命题1.15 两直线相交，对顶角相等。
所以：AB等于FC，三角形ABE全等于三角形CFE（命题1.4），于是∠BAE等于∠ECF。
命题1.4 如果三角形的两条对应边及夹角相等，那么其第三边亦相等，两个三角形全等，其余的两对应角亦相等。
又，∠ECD大于∠ECF（公理1.5），于是∠ACD大于∠BAE。
公理1.5 整体大于部分。
同理：如果BC被平分，可证∠BCG，也就是也就是∠ACD也大于∠ABC（命题1.15）。
所以：任意三角形，其任意一边的延长线所形成的外角大于任意不相邻的内角。
证完。
心得体会
1.在后面的命题中，欧几里得调用平行公设（公设1.5），再次证明，三角形的外角等于两内角之和。
2.在这个命题的证明中，我们的起始条件仅仅是一个三角形，之后又做了多条辅助线，最终命题得以证明。现在提一个老生常谈的疑问：这算不算私自增加了已知条件？这样的证明是否严格？
在全网充斥“用好辅助线，巧妙解决几何难题”之类的背景下，回答好这个问题很有必要，貌似大多数人都不会去关心这个问题，甚至没人提出这个问题。
我的回答是，这样的证明是严格的。这并不算是私自增加已知条件。这些“中间成果”是依据公设、公理和定理演绎出来的。从现象的层面来看，这些辅助线是作出来的，实质上是在逻辑上被确定出来的。数学讲究的就是“确定”二字。
正因为能从已知条件确定出来，所以才可以在实践中作出来，这才是内在的逻辑。“尺规作出”是逻辑上确定出的外在表现，前者是现象，后者是本质。
3.不要低估几何的价值，它不仅仅是作图游戏。在以后的文章里，你可以看到：利用几何，可以证明初等数论的基本定理；几何学作为工具可以帮助物理学家计算天体运动。
志同道合的朋友可以关注我，未来带大家一起赏读牛顿的原版著作《自然哲学之数学原理》。
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