「口袋數學」數學七上，壓軸題，動態問題，多少時間後PQ的長為5

哈嘍，大家好！我們又見面了，歡迎繼續關注【軒爸輔導】的【口袋數學】。日更【每日一學】【每日一練】，幫助孩子日積月累，考出好的成績。配套輔導，哪裡不會學哪裡，哪裡出錯練哪裡，幫助孩子提高效率。

01 典型例題

如圖，已知點A、點B是直線上的兩點，AB=12釐米，點C在線段AB上．點P、點Q是直線上的兩個動點，點P的速度為1釐米/秒，點Q的速度為2釐米/秒．

（1）當點P、Q分別在線段AC、BC的中點時，線段PQ=________釐米；

（2）若AC=6釐米，點P、點Q分別從點C、點B同時出發沿射線BA方向運動，當運動時間為2秒時，求PQ的長；

（3）若AC=4釐米，點P、Q分別從點C、點B同時出發在直線AB上運動，則經過多少時間後線段PQ的長為5釐米．

【解析】

（1）由線段中點的定義可得CP= 0.5AC，CQ= 0.5CB，所以PQ= 0.5AC+ 0.5CB= 0.5AB，把AB的值代入計算即可求解；
（2）由路程=速度x時間可求出BQ和CQ、CP的值，則PQ=CP+CQ可求解；
（3）由題意可分4種情況求解：
① 當點P、Q沿射線BA方向運動，若點Q在點P的後面，由圖可列關於時間的方程求解；
② 當點P、Q沿射線BA方向運動，若點Q在點P前面， 由圖可列關於時間的方程求解；
③ 當點P、Q在直線上相向運動，點P、Q在相遇前， 由圖可列關於時間的方程求解；
④ 當點P、Q在直線上相向運動，點P、Q在相遇後，由圖可列關於時間的方程求解。

【答案】 （1）如圖1，因為AB=12釐米，點C在線段AB上，

所以，當點P、Q分別在線段AC、BC的中點時，線段PQ=1/2 AB=6．故答案為：6；
（2）解：如圖2，當t=2時，BQ=2×2=4，

則CQ=6-4=2．

因為CP=2×1=2，所以PQ=CP+CQ=2+2=4(釐米)
（3）解：設運動時間為t秒．

①如圖3，當點P、Q沿射線BA方向運動，若點Q在點P的後面，

得：t+8-2t=5，解得t=3，

②如圖4，當點P、Q沿射線BA方向運動，若點Q在點P前面，得：2t-8-t=5，解得t=13．

③如圖5，當點P、Q在直線上相向運動，點P、Q在相遇前，得：t+2t=3，解得t=1．

④如圖6，當點P、Q在直線上相向運動，點P、Q在相遇後，得：t+2t=13，解得t= 13/3 ．

綜合可得t=1，3，13， 13/3 .所以經過1，3，13， 13/3 秒後PQ的長為5釐米．

02 舉一反三

如圖，點A、B都在數軸上，O為原點.

（1）點B表示的數是________；

（2）若點B以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右運動，則2秒後點B表示的數是________；

（3）若點A、B分別以每秒1個單位長度、3個單位長度的速度沿數軸向右運動，而點O不動，t秒後，A、B、O三個點中有一個點是另外兩個點為端點的線段的中點，求t的值.

【解析】（1）根據數軸上所表示的數的特點即可直接得出答案；
（2）用點B開始所表示的數＋點B運動的路程＝經過t秒後點B表示的數，即可得出結論；
（3）找出t秒後點A、B表示的數，分①點O為線段AB的中點，②當點B是線段OA的中點，③點A是線段OB的中點，根據線段中點的數學語言列出方程，求解即可求出此時的t值，綜上即可得出結論。

【答案】 （1）點B表示的數是-4；（2）2秒後點B表示的數是 0 ；

（3）解：① 當點O是線段AB的中點時，OB=OA， 4－3t=2+t ，t=0.5

② 當點B是線段OA的中點時， OA = 2 OB，2+t=2(3t-4)，t=2

③ 當點A是線段OB的中點時， OB = 2 OA，3t－-4=2(2+t)，t=8

綜上所述，符合條件的t的值是0.5，2或8.

03 鞏固練習

已知數軸上A，B兩點對應數分別為-2和5，P為數軸上一點，對應數為x.

（1）若P為線段AB的三等分點（把一條線段平均分成相等的三部分的兩個點），求P點對應的數.

（2）數軸上是否存在點P，使P點到A點，B點距離和為10？若存在，求出x值；若不存在，請說明理由.

（3）若點A，點B和點P（P點在原點）同時向左運動，它們的速度分別為1，6，3個長度單位/分，則第幾分鐘時，A，B，P三點中，其中一點是另外兩點連成的線段的中點？

【分析】（1）根據兩點間的距離公式得出AB=7， 又因P為線段AB的三等分點，所以 AP 1/3 或 8/3 ，進而再根據數軸上兩點間的距離公式即可求出點P所表示的數；
（2）分類討論：若P在A點左側 ，根據兩點間的距離公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值； 若P在A點、B中間 ，由於PA+PB=AB=7,故 不存在這樣的點P； 若P在B點右側 ，根據兩點間的距離公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值，綜上所述即可得出答案；
（3） 設第x分鐘時，點A的位置為：﹣2﹣x，點B的位置為：5﹣6x，點P的位置為：﹣3x ，然後分類討論： ①當P為AB的中點， ②當A為BP中點時 ， ③當B為AP中點時 三種情況根據線段的中點性質列出方程，求解即可。

【答案】 （1）解：因數軸上A、B兩點對應的數分別是﹣2和5，所以AB=7，又因P為線段AB的三等分點，所以 AP=7÷3= 7/3 或AP=7÷3×2= 14/3 ，所以P點對應的數為 1/3 或 8/3
（2）解：若P在A點左側，則﹣2﹣x+5﹣x=10，解得：x=﹣ 7/2 ；

若P在A點、B中間. ∵AB=7，∴不存在這樣的點P；

若P在B點右側，則x﹣5+x+2=10，解得：x= 13/2

②當A為BP中點時，則2×（﹣2﹣x）=5﹣6x﹣3x，解得：x= 9/7；

③當B為AP中點時，則2×（5﹣6x）=﹣2﹣x﹣3x，解得：x= 3/2 .

答：第 9/7 分鐘時，A為BP的中點；第 3/2 分鐘時，B為AP的中點；第3分鐘時，P為AB的中點.

轉載請註明：軒爸輔導 » 【口袋數學】數學七上，壓軸題，動態問題，經過多少時間後線段PQ的長為5釐米

閱讀更多 軒爸輔導 的文章

關鍵字: 數學 輔導 體育