2019年杭州市中考數學試卷考點精析
1．有理數的混合運算
（1）有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最後算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內的運算．
（2）進行有理數的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．
【規律方法】有理數混合運算的四種運算技巧
1．轉化法：一是將除法轉化為乘法，二是將乘方轉化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數轉化為分數進行約分計算．
2．湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數，分母相同的兩個數，和為整數的兩個數，乘積為整數的兩個數分別結合為一組求解．
3．分拆法：先將帶分數分拆成一個整數與一個真分數的和的形式，然後進行計算．
4．巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便．
2．近似數和有效數字
（1）有效數字：從一個數的左邊第一個不是0的數字起到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字．
（2）近似數與精確數的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數字等說法．
（3）規律方法總結：
“精確到第幾位”和“有幾個有效數字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意義是不一樣的，前者可以體現出誤差值絕對數的大小，而後者往往可以比較幾個近似數中哪個相對更精確一些．
3．因式分解-運用公式法
1、如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能夠運用平方差公式分解因式的多項式必須是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反．
②能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數（或式）的平方和的形式，另一項是這兩個數（或式）的積的2倍．
3、要注意公式的綜合應用，分解到每一個因式都不能再分解為止．
4．分式的加減法
（1）同分母分式加減法法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減．
（2）異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個分式化成分母相同的分式，叫做通分，經過通分，異分母分式的加減就轉化為同分母分式的加減．
說明：
①分式的通分必須注意整個分子和整個分母，分母是多項式時，必須先分解因式，分子是多項式時，要把分母所乘的相同式子與這個多項式相乘，而不能只同其中某一項相乘．
②通分是和約分是相反的一種變換．約分是把分子和分母的所有公因式約去，將分式化為較簡單的形式；通分是分別把每一個分式的分子分母同乘以相同的因式，使幾個較簡單的分式變成分母相同的較複雜的形式．約分是對一個分式而言的；通分則是對兩個或兩個以上的分式來說的．
5．由實際問題抽象出一元一次方程
審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設要求的未知量或間接設一關鍵的未知量為x，然後用含x的式子表示相關的量，找出之間的相等關係列方程．
（1）“總量＝各部分量的和”是列方程解應用題中一個基本的關係式，在這一類問題中，表示出各部分的量和總量，然後利用它們之間的等量關係列方程．
（2）“表示同一個量的不同式子相等”是列方程解應用題中的一個基本相等關係，也是列方程的一種基本方法．通過對同一個量從不同的角度用不同的式子表示，進而列出方程．
6．一次函數的圖象
（1）一次函數的圖象的畫法：經過兩點（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直線y＝kx+b．
注意：①使用兩點法畫一次函數的圖象，不一定就選擇上面的兩點，而要根據具體情況，所選取的點的橫、縱座標儘量取整數，以便於描點準確．②一次函數的圖象是與座標軸不平行的一條直線（正比例函數是過原點的直線），但直線不一定是一次函數的圖象．如x＝a，y＝b分別是與y軸，x軸平行的直線，就不是一次函數的圖象．
（2）一次函數圖象之間的位置關係：直線y＝kx+b，可以看做由直線y＝kx平移|b|個單位而得到．
當b＞0時，向上平移；b＜0時，向下平移．
注意：①如果兩條直線平行，則其比例係數相等；反之亦然；
②將直線平移，其規律是：上加下減，左加右減；
③兩條直線相交，其交點都適合這兩條直線．
7．一次函數的性質
一次函數的性質：
k＞0，y隨x的增大而增大，函數從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數從左到右下降．
由於y＝kx+b與y軸交於（0，b），當b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交於正半軸；當b＜0時，（0，b）在y軸的負半軸，直線與y軸交於負半軸．
8．反比例函數的應用
（1）利用反比例函數解決實際問題
①能把實際的問題轉化為數學問題，建立反比例函數的數學模型．②注意在自變量和函數值的取值上的實際意義．③問題中出現的不等關係轉化成相等的關係來解，然後在作答中說明．
（2）跨學科的反比例函數應用題
要熟練掌握物理或化學學科中的一些具有反比例函數關係的公式．同時體會數學中的轉化思想．
（3）反比例函數中的圖表信息題
正確的認識圖象，找到關鍵的點，運用好數形結合的思想．
9．二次函數的性質
二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點座標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質：
①當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減小；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．
②當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減小；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．
③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．
10．二次函數圖象上點的座標特徵
二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線
①拋物線是關於對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關於對稱軸對稱，且都滿足函數函數關係式．頂點是拋物線的最高點或最低點．
②拋物線與y軸交點的縱座標是函數解析中的c值．
③拋物線與x軸的兩個交點關於對稱軸對稱，設兩個交點分別是（x1，0），（x2，0）
11．二次函數的最值
（1）當a＞0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數有最小值，當x＝時，y＝．
（2）當a＜0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數有最大值，當x＝時，y＝．
（3）確定一個二次函數的最值，首先看自變量的取值範圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點座標的縱座標；當自變量取某個範圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值，從而獲得最值．
12．拋物線與x軸的交點
求二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）與x軸的交點座標，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關於x的一元二次方程即可求得交點橫座標．
（1）二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關係．
△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數．
△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；
△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；
△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
（2）二次函數的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點座標（x1，0），（x2，0）．
13．三角形內角和定理
（1）三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大於0°且小於180°．
（2）三角形內角和定理：三角形內角和是180°．
（3）三角形內角和定理的證明
證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角．在轉化中藉助平行線．
（4）三角形內角和定理的應用
主要用在求三角形中角的度數．①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關係，用代數方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互餘求另一銳角．
14．線段垂直平分線的性質
（1）定義：經過某一條線段的中點，並且垂直於這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．
（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段． ②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等． ③三角形三條邊的垂直平分線相交於一點，該點叫外心，並且這一點到三個頂點的距離相等．
15．等腰三角形的性質
（1）等腰三角形的概念
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性質
①等腰三角形的兩腰相等
②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】
③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】
（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論．
16．矩形的性質
（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
（2）矩形的性質
①平行四邊形的性質矩形都具有；
②角：矩形的四個角都是直角；
③邊：鄰邊垂直；
④對角線：矩形的對角線相等；
⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．
（3）由矩形的性質，可以得到直角三角形的一個重要性質，直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半．
17．正方形的性質
（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等並且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
（2）正方形的性質
①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；
②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，並且每條對角線平分一組對角；
③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．
④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．
18．切線長定理
（1）圓的切線長定義：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．
（2）切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角．
（3）注意：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量．
（4）切線長定理包含著一些隱含結論：
①垂直關係三處；
②全等關係三對；
③弧相等關係兩對，在一些證明求解問題中經常用到．
19．圓錐的計算
（1）連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的母線．連接頂點與底面圓心的線段叫圓錐的高．
（2）圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等於圓錐底面的周長，扇形的半徑等於圓錐的母線長．
（3）圓錐的側面積：S側＝•2πr•l＝πrl．
（4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側＝πr2+πrl
（5）圓錐的體積＝×底面積×高
注意：①圓錐的母線與展開後所得扇形的半徑相等．
②圓錐的底面周長與展開後所得扇形的弧長相等．
20．圓的綜合題
圓的綜合題．
21．關於x軸、y軸對稱的點的座標
（1）關於x軸的對稱點的座標特點：
橫座標不變，縱座標互為相反數．
即點P（x，y）關於x軸的對稱點P′的座標是（x，﹣y）．
（2）關於y軸的對稱點的座標特點：
橫座標互為相反數，縱座標不變．
即點P（x，y）關於y軸的對稱點P′的座標是（﹣x，y）．
22．翻折變換（摺疊問題）
1、翻折變換（摺疊問題）實質上就是軸對稱變換．
2、摺疊的性質：摺疊是一種對稱變換，它屬於軸對稱，摺疊前後圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．
3、在解決實際問題時，對於摺疊較為複雜的問題可以實際操作圖形的摺疊，這樣便於找到圖形間的關係．
首先清楚摺疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的並且可利用的條件．解題時，我們常常設要求的線段長為x，然後根據摺疊和軸對稱的性質用含x的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案．我們運用方程解決時，應認真審題，設出正確的未知數．
23．相似三角形的判定與性質
（1）相似三角形相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應邊的比相等和對應角相等兩方面下定義；反過來，兩個三角形相似也有對應角相等，對應邊的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據基本圖形對圖形進行分解、組合；或作輔助線構造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應有的條件方可．
24．銳角三角函數的定義
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．
即sinA＝∠A的對邊除以斜邊＝．
（2）餘弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的餘弦，記作cosA．
即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊＝．
（3）正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．
即tanA＝∠A的對邊除以∠A的鄰邊＝．
（4）三角函數：銳角A的正弦、餘弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數．
25．解直角三角形的應用-坡度坡角問題
（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．
（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關係為：i＝h/l＝tanα．
（3）在解決坡度的有關問題中，一般通過作高構成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質也是解直角三角形問題．
應用領域：①測量領域；②航空領域 ③航海領域：④工程領域等．
26．折線統計圖
（1）定義：折線圖是用一個單位表示一定的數量，根據數量的多少描出各點，然後把各點用線段依次連接起來．以折線的上升或下降來表示統計數量增減變化．
（2）特點：折線圖不但可以表示出數量的多少，而且能夠清楚地表示出數量的增減變化情況．
（3）繪製折線圖的步驟
①根據統計資料整理數據．
②先畫縱軸，後畫橫軸，縱、橫都要有單位，按紙面的大小來確定用一定單位表示一定的數量． ③根據數量的多少，在縱、橫軸的恰當位置描出各點，然後把各點用線段順序連接起來．
27．算術平均數
（1）平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以數據的個數．它是反映數據集中趨勢的一項指標．
（2）算術平均數：對於n個數x1，x2，…，xn，則＝（x1+x2+…+xn）就叫做這n個數的算術平均數．
（3）算術平均數是加權平均數的一種特殊情況，加權平均數包含算術平均數，當加權平均數中的權相等時，就是算術平均數．
28．加權平均數
（1）加權平均數：若n個數x1，x2，x3，…，xn的權分別是w1，w2，w3，…，wn，則x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做這n個數的加權平均數．
（2）權的表現形式，一種是比的形式，如4：3：2，另一種是百分比的形式，如創新佔50%，綜合知識佔30%，語言佔20%，權的大小直接影響結果．
（3）數據的權能夠反映數據的相對“重要程度”，要突出某個數據，只需要給它較大的“權”，權的差異對結果會產生直接的影響．
（4）對於一組不同權重的數據，加權平均數更能反映數據的真實信息．
29．中位數
（1）中位數：
將一組數據按照從小到大（或從大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處於中間位置的數就是這組數據的中位數．
如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．
（2）中位數代表了這組數據值大小的“中點”，不易受極端值影響，但不能充分利用所有數據的信息．
（3）中位數僅與數據的排列位置有關，某些數據的移動對中位數沒有影響，中位數可能出現在所給數據中也可能不在所給的數據中出現，當一組數據中的個別數據變動較大時，可用中位數描述其趨勢．
30．方差
（1）方差：一組數據中各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，叫做這組數據的方差．
（2）用“先平均，再求差，然後平方，最後再平均”得到的結果表示一組數據偏離平均值的情況，這個結果叫方差，通常用s2來表示，計算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可簡單記憶為“方差等於差方的平均數”）
（3）方差是反映一組數據的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好．
31．標準差
（1）標準差：樣本方差的算術平方根表示樣本的標準差，它也描述了數據對平均數的離散程度．
公式：s＝s2＝1n[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]
（2）標準差是反應一組數據離散程度最常用的一種量化形式，是表示精密確的最要指標．標準差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好．
2019年杭州市中考數學試卷答案
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