本期视频节目及猫粮参考文献
- 《上帝笑了99次》[英] Peter Cave
- 《穿越平行宇宙》[美] Max Tegmark
- 《量子世界中拉普拉斯之妖的重生》贾明子
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“睡美人悖论”源自哲学家阿诺德·祖博夫（Arnold Zuboff）的研究。这个看似简单的问题，至今却未有定论，有的人支持1/2，有的人支持1/6。
这个悖论揭示了一个现实：今天人们对于“概率”的认识，还存在一些“说不清，道不明”的地方。
经典概率的bug
通常人们认为，“概率”就是对一件事发生的“可能性”的定量描述，这句话听上去没什么毛病，但进一步说，“可能性”又是什么呢？又该如何对“可能性”这个东西进行测量？
在拉普拉斯（拉普拉斯之妖）看来，世界上并不存在所谓的“可能性”这种说法，一切都是“确定”的。一件事要么发生，要么就没有发生，不存在“可能发生”的情况——之所以你觉得“可能”，只是因为“你不知道”而已。因此，在经典概率理论中，“可能性”就是对一件事的“无知程度”的量化描述。
比如一枚硬币，我们都知道一旦把它扔出去，一定会有某一面朝上，最终的状态是诸多因素共同导致的结果（比如投掷角度、力度、气流……），理论上都是可计算的，因此，这是一个确定性事件。但在我们投掷之前，这一切还未发生，事前也并没有掌握任何“某个面更可能向上的证据”。所以我们就可以说，即将投掷的这枚硬币，所有面向上的概率是相同的。
在经典概率看来，如果我们对一件事的所有可能性，始终都处于一个“完全无知”的状态，或者，对于任何一种可能性，我们都没有掌握“比其他可能性更多的证据”，那么我们就可以说每种可能性的概率，是相同的。
这听起来很自洽，但却又引出了另一个矛盾的故事：骰子工厂。
假设有一间专门制作骰子的工厂，这间工厂专门生产骰子，每个正立方体骰子的“边长”是从0到1之间随机生产出来，其他更多情况，完全一无所知。问题来了：假如从这个工厂随机取出一个骰子，它的边长小于1/2的概率是多少？
根据“经典概率”的说法，显然在0到1的边长之间，我们对“即将”取出骰子的边长，无论最终长度是多少，都不拥有任何的“证据”去提前预判“某个长度更有可能，或者某个长度更没有可能”。我们对任何一个尺寸，都是始终保持“同样完全无知”的状态。
所以，边长小于1/2和大于1/2的骰子，这两种情况，我们是“同样，完全无知”的，所以它们就是等概率的，答案是50%，这个很好理解。
继续问第二个问题：如果随机取出一个骰子，它的“一个面”的面积小于1/4的概率是多少？骰子一个面的面积最大就是1，根据之前的思路，我们对于0-1之间任意一个可能出现的面积数值，也并不具备更多的“证据”，所以一个面的面积小于1/4的概率是25%，这个也好理解。
再继续问：如果随机取出一个骰子的“体积”小于1/8的概率是多少？工厂的骰子最大的体积就是1，但我们对于任何一种体积骰子的出现，都不具备更多的“证据”去预判，所以还是根据“完全无知原则”，答案显然是12.5%。
现在，我们把这三个“独立”的问题总结一下：
1）出现边长小于1/2的骰子，概率是50%
2）出现一个面的面积小于1/4的骰子，概率是25%
3）出现一个体积小于1/8的骰子，概率是12.5%
古怪的事出现了：这三个问题其实是同一个问题，边长小于1/2的骰子=面积小于1/4的骰子=体积小于1/8的骰子。同样的事件，却出现了不同的概率。
可能你会说，这个事也很好解释嘛。只要画个函数图，把“边长”作为X 轴均匀分布，那么面积、体积的变化就是曲线的。也就是说，如果边长的变化是均匀的，那么面积和体积变化，在坐标轴上就不是一条直线，因此面积和体积的概率变化就是不均匀的。换句话说，如果“边长大于0.5和小于0.5的概率是相同的”——那么在这个前提下，就不能说“体积小于0.5和大于0.5的概率是相同的”，自然也同样不能引出2）、3）两种情况了。
你分析的没错——但如果回想“经典概率”的“完全无知”原则，在取出骰子前，我们同样也并不知道“哪种情况（边长or面积or体积）的概率变化是均匀的——我们对这些情况的“无知程度”也都是完全同样无知的，那么按照经典概率的说法，测算出的概率就应该是相同的，但实际上却出现了矛盾。
这样的bug，引发了人们对“经典概率”的一丝不安——既然经典概率是表达人们“无知的程度”，那么面对类似工厂骰子的事件，每种情况都是“完全无知”的，那概率就应该相同，而一个事件的“概率”，只是因为“人”的无知程度去判断，那么概率这事未免也太“主观”了。
主观的概率
概率是可以用“主观”去诠释的，但并不是基于“事前的无知程度”——“贝叶斯概率”这么认为。
和经典概率的“无知原则”不同，贝叶斯概率认为，一个事件的概率判定，是基于人们对事情发生可能性的“主观信心程度”的积累。
例如，当我们投掷一枚硬币，我们可以先问问自己，觉得正面向上的概率是多少——多少都可以，甚至我可以一开始认为“正面”不太可能出现，因为我（不靠谱的）“目测”觉得这枚硬币正面图案复杂一些（所以就会更重），考虑到重力因素会让更重的那面冲下，所以我对正面向上的“信心“不足，因此我猜正面向上的概率只有10%。
于是我第一次投掷，是正面，那么我的信心就稍微多了一点点，达到了10.2%。第二次，竟然还是正面，我的信心程度膨胀到了11%……就这么一直投掷下去，随着次数增加，每一次我对正面向上的信心指数，都在前一次投掷的基础上相应调整，当然如果出现反面朝上的情况，我的信心指数依然会有所降低，就这样不断的对我的信心进行调整。最终，只要投掷次数足够多，比如投了5000次，我就基本可以断言正面向上的概率是50%，此刻的我对下一次投掷出正面的信心指数，是稳定在50%的。
这种概率的主观诠释，很好的解决了经典概率一些逻辑上的bug，比如猜工厂的骰子，我们不需要“因为对所有情况都同样的无知”就匆忙下结论，每次可以先估算一个概率，然后多取几次，最终逼近真实的概率就会浮出水面。
这种不断对概率更新和修正的方法，也在统计学上获得了巨大的成功，并直接影响着今天的深度学习和AI方面的演进，是当代人工智能的核心方法论之一……
但话又说回来了，虽然这样定义概率更“说的通”，但我们终归不是在谈一个“数学”问题吗？数学不应该是一个确定性学问吗？如果一个事件的概率，是由着每个人的主观而变化（虽然可以无限逼近真相），那么整个概率的公理体系和计算方法，又有什么意义呢？岂不是每个人都可以拥有一个属于自己的概率体系？反正就是多试呗。
因此主观概率的支持者又打了一些“补丁”：并不是所有人的主观都是靠谱的。概率，应该是一个“理性人”对随机事件的信心程度。
关键词“理性人”——这个“人”要在逻辑上永远保持严谨，永远不会出错。因此只要“你、我、他”都是一个“绝对的理性人”，那么概率对于我们而言，就会保持一致的步伐，就是同一套逻辑。
但是，一个永远不会犯错的“绝对理性的人”所持有的“这个观念”，和“客观性质”又有什么区别呢？如果这点成立，概率岂不是又变回一个客观的、不受外界视角影响、属于事件本身固有的性质了吗？那么再回到我们这期视频节目的「睡美人悖论」，它拥有的两种悬而未决的答案，又该做何种解释？“绝对理性人的答案”究竟是什么？
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本期视频节目及猫粮参考文献
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- 《量子世界中拉普拉斯之妖的重生》贾明子
未完待续……
关于概率，随机等话题，薛饿往期节目很多都涉及过，这些选题对我们而言，是很有挑战的，不仅涉及的知识范围广(数学、哲学、物理……)，而且要把某个“局部问题”讲清楚（只是我们认为讲清楚了）也并非易事。更重要的一点，很多问题在学界也依然拥有着不同的解释，科学是一个“不断完善对世界的解释”的过程，并非提供答案的工具。
这些有趣但又捉摸不透的话题，我们会继续探索。同时也推荐大家一个书单，一个“对世界不同角度解读”的书单。让我们一起感受这个“充满不确定性美妙”的世界吧。
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