本期視頻節目及貓糧參考文獻
- 《上帝笑了99次》[英] Peter Cave
- 《穿越平行宇宙》[美] Max Tegmark
- 《量子世界中拉普拉斯之妖的重生》賈明子
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“睡美人悖論”源自哲學家阿諾德·祖博夫（Arnold Zuboff）的研究。這個看似簡單的問題，至今卻未有定論，有的人支持1/2，有的人支持1/6。
這個悖論揭示了一個現實：今天人們對於“概率”的認識，還存在一些“說不清，道不明”的地方。
經典概率的bug
通常人們認為，“概率”就是對一件事發生的“可能性”的定量描述，這句話聽上去沒什麼毛病，但進一步說，“可能性”又是什麼呢？又該如何對“可能性”這個東西進行測量？
在拉普拉斯（拉普拉斯之妖）看來，世界上並不存在所謂的“可能性”這種說法，一切都是“確定”的。一件事要麼發生，要麼就沒有發生，不存在“可能發生”的情況——之所以你覺得“可能”，只是因為“你不知道”而已。因此，在經典概率理論中，“可能性”就是對一件事的“無知程度”的量化描述。
比如一枚硬幣，我們都知道一旦把它扔出去，一定會有某一面朝上，最終的狀態是諸多因素共同導致的結果（比如投擲角度、力度、氣流……），理論上都是可計算的，因此，這是一個確定性事件。但在我們投擲之前，這一切還未發生，事前也並沒有掌握任何“某個面更可能向上的證據”。所以我們就可以說，即將投擲的這枚硬幣，所有面向上的概率是相同的。
在經典概率看來，如果我們對一件事的所有可能性，始終都處於一個“完全無知”的狀態，或者，對於任何一種可能性，我們都沒有掌握“比其他可能性更多的證據”，那麼我們就可以說每種可能性的概率，是相同的。
這聽起來很自洽，但卻又引出了另一個矛盾的故事：骰子工廠。
假設有一間專門製作骰子的工廠，這間工廠專門生產骰子，每個正立方體骰子的“邊長”是從0到1之間隨機生產出來，其他更多情況，完全一無所知。問題來了：假如從這個工廠隨機取出一個骰子，它的邊長小於1/2的概率是多少？
根據“經典概率”的說法，顯然在0到1的邊長之間，我們對“即將”取出骰子的邊長，無論最終長度是多少，都不擁有任何的“證據”去提前預判“某個長度更有可能，或者某個長度更沒有可能”。我們對任何一個尺寸，都是始終保持“同樣完全無知”的狀態。
所以，邊長小於1/2和大於1/2的骰子，這兩種情況，我們是“同樣，完全無知”的，所以它們就是等概率的，答案是50%，這個很好理解。
繼續問第二個問題：如果隨機取出一個骰子，它的“一個面”的面積小於1/4的概率是多少？骰子一個面的面積最大就是1，根據之前的思路，我們對於0-1之間任意一個可能出現的面積數值，也並不具備更多的“證據”，所以一個面的面積小於1/4的概率是25%，這個也好理解。
再繼續問：如果隨機取出一個骰子的“體積”小於1/8的概率是多少？工廠的骰子最大的體積就是1，但我們對於任何一種體積骰子的出現，都不具備更多的“證據”去預判，所以還是根據“完全無知原則”，答案顯然是12.5%。
現在，我們把這三個“獨立”的問題總結一下：
1）出現邊長小於1/2的骰子，概率是50%
2）出現一個面的面積小於1/4的骰子，概率是25%
3）出現一個體積小於1/8的骰子，概率是12.5%
古怪的事出現了：這三個問題其實是同一個問題，邊長小於1/2的骰子=面積小於1/4的骰子=體積小於1/8的骰子。同樣的事件，卻出現了不同的概率。
可能你會說，這個事也很好解釋嘛。只要畫個函數圖，把“邊長”作為X 軸均勻分佈，那麼面積、體積的變化就是曲線的。也就是說，如果邊長的變化是均勻的，那麼面積和體積變化，在座標軸上就不是一條直線，因此面積和體積的概率變化就是不均勻的。換句話說，如果“邊長大於0.5和小於0.5的概率是相同的”——那麼在這個前提下，就不能說“體積小於0.5和大於0.5的概率是相同的”，自然也同樣不能引出2）、3）兩種情況了。
你分析的沒錯——但如果回想“經典概率”的“完全無知”原則，在取出骰子前，我們同樣也並不知道“哪種情況（邊長or面積or體積）的概率變化是均勻的——我們對這些情況的“無知程度”也都是完全同樣無知的，那麼按照經典概率的說法，測算出的概率就應該是相同的，但實際上卻出現了矛盾。
這樣的bug，引發了人們對“經典概率”的一絲不安——既然經典概率是表達人們“無知的程度”，那麼面對類似工廠骰子的事件，每種情況都是“完全無知”的，那概率就應該相同，而一個事件的“概率”，只是因為“人”的無知程度去判斷，那麼概率這事未免也太“主觀”了。
主觀的概率
概率是可以用“主觀”去詮釋的，但並不是基於“事前的無知程度”——“貝葉斯概率”這麼認為。
和經典概率的“無知原則”不同，貝葉斯概率認為，一個事件的概率判定，是基於人們對事情發生可能性的“主觀信心程度”的積累。
例如，當我們投擲一枚硬幣，我們可以先問問自己，覺得正面向上的概率是多少——多少都可以，甚至我可以一開始認為“正面”不太可能出現，因為我（不靠譜的）“目測”覺得這枚硬幣正面圖案複雜一些（所以就會更重），考慮到重力因素會讓更重的那面衝下，所以我對正面向上的“信心“不足，因此我猜正面向上的概率只有10%。
於是我第一次投擲，是正面，那麼我的信心就稍微多了一點點，達到了10.2%。第二次，竟然還是正面，我的信心程度膨脹到了11%……就這麼一直投擲下去，隨著次數增加，每一次我對正面向上的信心指數，都在前一次投擲的基礎上相應調整，當然如果出現反面朝上的情況，我的信心指數依然會有所降低，就這樣不斷的對我的信心進行調整。最終，只要投擲次數足夠多，比如投了5000次，我就基本可以斷言正面向上的概率是50%，此刻的我對下一次投擲出正面的信心指數，是穩定在50%的。
這種概率的主觀詮釋，很好的解決了經典概率一些邏輯上的bug，比如猜工廠的骰子，我們不需要“因為對所有情況都同樣的無知”就匆忙下結論，每次可以先估算一個概率，然後多取幾次，最終逼近真實的概率就會浮出水面。
這種不斷對概率更新和修正的方法，也在統計學上獲得了巨大的成功，並直接影響著今天的深度學習和AI方面的演進，是當代人工智能的核心方法論之一……
但話又說回來了，雖然這樣定義概率更“說的通”，但我們終歸不是在談一個“數學”問題嗎？數學不應該是一個確定性學問嗎？如果一個事件的概率，是由著每個人的主觀而變化（雖然可以無限逼近真相），那麼整個概率的公理體系和計算方法，又有什麼意義呢？豈不是每個人都可以擁有一個屬於自己的概率體系？反正就是多試唄。
因此主觀概率的支持者又打了一些“補丁”：並不是所有人的主觀都是靠譜的。概率，應該是一個“理性人”對隨機事件的信心程度。
關鍵詞“理性人”——這個“人”要在邏輯上永遠保持嚴謹，永遠不會出錯。因此只要“你、我、他”都是一個“絕對的理性人”，那麼概率對於我們而言，就會保持一致的步伐，就是同一套邏輯。
但是，一個永遠不會犯錯的“絕對理性的人”所持有的“這個觀念”，和“客觀性質”又有什麼區別呢？如果這點成立，概率豈不是又變回一個客觀的、不受外界視角影響、屬於事件本身固有的性質了嗎？那麼再回到我們這期視頻節目的「睡美人悖論」，它擁有的兩種懸而未決的答案，又該做何種解釋？“絕對理性人的答案”究竟是什麼？
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- 《量子世界中拉普拉斯之妖的重生》賈明子
未完待續……
關於概率，隨機等話題，薛餓往期節目很多都涉及過，這些選題對我們而言，是很有挑戰的，不僅涉及的知識範圍廣(數學、哲學、物理……)，而且要把某個“局部問題”講清楚（只是我們認為講清楚了）也並非易事。更重要的一點，很多問題在學界也依然擁有著不同的解釋，科學是一個“不斷完善對世界的解釋”的過程，並非提供答案的工具。
這些有趣但又捉摸不透的話題，我們會繼續探索。同時也推薦大家一個書單，一個“對世界不同角度解讀”的書單。讓我們一起感受這個“充滿不確定性美妙”的世界吧。
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