今天給大家分享的是2020年山東省濟寧市中考數學模擬第22題，主要是涉及到二次函數的綜合運用，想要衝刺中考數學滿分的同學可以嘗試挑戰一下。
【例題】
22．二次函數圖象的頂點在原點O，經過點A（1，1/4）；點F（0，1）在y軸上．直線y=-1與y軸交於點H．
（1）求二次函數的解析式；
（2）點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=-1交於點M，求證：FM平分∠OFP；
（3）當△FPM是等邊三角形時，求P點的座標．
圖1
【本題考點】：二次函數綜合運用。
【解題思路】
（1）根據題意可設函數的解析式為y=ax^2，把點A代入函數解析式，求出a的值，然後就可求得二次函數的解析式；
（2）過點P作PB⊥y軸於點B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可以得到PF＝PM，∠PFM＝∠PMF，然後再結合平行線的性質，就可以得出相應結論；
（3）首先可以得到∠FMH＝30度，設點P的座標為（x，1/4x^2），根據PF＝PM＝FM，可以得關於x的方程，求出x的值就可以得出結果．
【完整解答過程】
（1）解：∵二次函數圖象的頂點在原點O，
∴設二次函數的解析式為y＝ax^2，
將點A（1，1/4）代入y＝ax^2得：a＝1/4
∴二次函數的解析式為y＝1/4x^2
（2）證明：∵點P在拋物線y＝1/4x^2上，
∴可設點P的座標為（x，1/4x^2），
過點P作PB⊥y軸於點B，則BF＝|1/4x^2﹣1|，PB＝|x|，
∴Rt△BPF中，
PF=根號（1/4x^2-1）^2+x^2=1/4x^2+1
∵PM⊥直線y＝﹣1，
∴PM＝1/4x^2+1
∴PF＝PM，
∴∠PFM＝∠PMF，
又∵PM∥y軸，
∴∠MFH＝∠PMF，
∴∠PFM＝∠MFH，
∴FM平分∠OFP；
（3）解：當△FPM是等邊三角形時，∠PMF＝60°，
∴∠FMH＝30°，
在Rt△MFH中，MF＝2FH＝2×2＝4，
∵PF＝PM＝FM，
∴1/4x^2+1＝4，
解得：x＝±2根號3，
∴1/4x^2＝1/4×12＝3，
∴滿足條件的點P的座標為（2根號3，3）或（-2根號3，3）．
圖2
【課後總結】這道題目主要考查了二次函數的綜合，其中涉及了待定係數法求函數解析式、角平分線的性質及直角三角形的性質，解決本道題目的關鍵是熟練基本知識，數形結合，將所學知識融會貫通．
今天的分享就到此結束了，希望初三的同學做完這道題目可以進行適當整理，有所收穫，加油。
圖3
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