多方向思维
你这个问题的范围有点大，不同的事业单位，岗位设置是不一样的，很难笼统的回答。
比如在学校，最吃香的岗位第一就是校长，在医院，最吃香的岗位当然是院长，都是实打实的权力岗，当然，权力越大，责任越大。再往下，就是副职，各科室主任，都是很吃香的岗位。
当然，有些事业单位就没有什么吃香的岗位。比如，在街道办事处的社区服务中心，这个单位除了中心主任的工资高一点外，并没有什么吃香之处。而且这个单位的工作人员都是管理岗，还不能评职称，很鸡肋的。
千惠之语
寻找吃香岗位，这种观念已经过时，且很危险。
什么是吃香？就是说岗位权利大，求的人多，别人买账，能给别人办成事，给别人带来利益。如果该办的事情不办或拖延办，不该办的事也敢办，自然就有油水就来了，因为有的服务对象迫于无奈，有的人为寻求非法利益投其所好。
用楼主的话说，吃香的单位可不少。虽然事业单位总体上不如行政机关吃香，但也有一定的权力。医疗、教育、土地管理、工程招投标、环境保护、房地产管理，到处都有事业单位的影子，事业单位多数是行政机关的下属部门，也有少部分政府直属事业单位。
事业单位的权力大致有人事权、财权、检查权、处罚权、审批权，你吃香了，别人可都盯着呢！纪委也盯着呢。给你好处的人，都替你记着账呢，有的巴不得你上套，以后就好控制你了。
改革的目标就是针对吃香的根源，就是对着权力，目标就是有权了但不想腐、不敢腐、不能腐。
机关事业单位工作人员本来应该奔着做官就别想发财的目标来的，收入水平饿不死撑不着，但有的人玩坏了，包括有些位高权重者。十八大以后，一切都在变化。有油水吃香的岗位可是滑倒了不少人！
目前环境下，明智的人，不是要吃香，要的是安稳。
农夫三拳哦
如果硬要找出一个吃香岗位的话，那就只能选择专业技术岗位。
回答这个问题，首先就要明白事业单位的性质。
事业单位的性质是，办具体事业，做专业的事情。医院是事业单位，职责是治病救人。学校是事业单位，职责是教书育人。电视台是事业单位，职责是做好新闻传播。文化馆、图书馆、博物馆也是事业单位，主要是从事专业的文化工作，必须要有较强的业务能力。市场行政执法单位、文化市场综合执法单位，以及其他各类行政执法单位，都是事业单位，都是分门别类开展行政执法工作的，需要工作人员具有较强的法律法规知识和行政执法能力。
如果一个在事业单位工作的人，从事行政管理和后勤服务，而不是专业技术工作，那么，即便是当了领导，也未必吃香，因为那些专业技术人员是不会服气的。如果一个事业单位的工作人员，不是专业技术人员，即便想当领导，也很难当得上。
当然，在我国目前的事业单位中，也有非专业技术人员当上了领导的，凭借的不是专业技术能力，而是其他方面的因素。
在事业单位工作的专业技术人员，除非他不敬业，除非他确实水平太差，得不到提拔重用，同时也不到工资待遇较快增长以外，其工资待遇和业务权威，都会较快地上升。
郁津里
医院的医生，学校的教师都是事业单位里一线顶梁柱，其他机关里的话，最简单辨别法是看事业单位招考哪个报名最多，报名较多的岗位都算比较吃香的。但每个单位里吃香岗位不一样，有时你人很优秀很受领导器重的话你这个岗位也是很吃香的，论单位的话一般公检法系统里的事业编的人工资高点，但公检法不算事业单位，普通事业单位比如名字叫什么什么中心或什么什么办的多数是事业单位，单位里的机构属办公室是中枢，受重视，重点科室有地位，岗位吃香不吃香，有时也因人而异，看你招考进去的时候你的初衷是什么，是为人民服务，还是图个安稳清闲，还是图权力地位，因此，有人觉得是工资高，有人觉得是前途广，有人觉得是受人重视就是吃香，但也有人喜欢清闲轻松事情少一点的岗位，这要看你什么追求了。
我来哇啦哇啦
医护人员。
生活经典1
整天酸事业，机关。有意思吗？30多年前都是没是去的单位。那时大国企，生产经营单位，才是王道。可没见那时的机关事业单位人员整天嫉妒和酸工矿企业？素质有待提高阿！
獬豕吉祥
烟草公司
古雨秀城
当然是单位一把手了，站着管理岗当领导有权利，挣高级技术岗的高工资，并且不受职数限制，一肩挑，好事都是一个人的，吉林省是这样的。
幽灵777
公会主席……
沉默177255
现在是医院不过不是医院的医生，未来将会是教师。
