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看的是《三國演義》吧？歷史上關羽是馬忠殺的，當然這可能有著呂蒙授意之嫌。
而呂蒙殺關羽，有兩個可能。第一他自作主張，第二是孫權授意。
首先自作主張可能性不大，呂蒙雖然與關羽有隙，當年為了“還荊州”兩人沒少碰撞。但好歹身為東吳主將，殺關羽這樣的大事兒，他沒有理由獨斷。關羽可不是普通武將，其更是劉備出生入死的兄弟，殺了他勢必會與蜀漢結下死仇，事關東吳存亡，呂蒙沒那麼打膽子。
所以，這件事兒應該孫權授意。那麼孫權為何要殺關羽，要知道這一殺，他與劉備就徹底斷了。
個人覺得主要有三點原因：
第一點：關羽不降。
不降之將，必須得殺，這是規矩！
從大義方面來看，關公起兵的本意就是為國家除賊，雖然這個名義聽起來略微有些“浮誇”，但是它卻代表了起義行動的基本方針。古代做任何事情都講究“師出有名”，沒有正當名義的事情是不可能成功實現的，所以對於當時的人來說，給自己找一個正當的“謀反”名義是立命安身的根本。
關羽從起義開始就以扶助漢室為指導思想，雖然在中途被曹操俘虜，但是他依然表現出不與反賊共事的原則，從當時的巨石來看，孫權的勢力也是標準的叛軍勢力，所以孫權自己也非常清楚，自己和關羽的思想是不可能相容的。 
從小義來看，關羽和劉張是非常親密的兄弟，雖然三人並沒有實際的血緣關係，但卻因為同處亂世，彼此之間已經培養出了極其深厚的“革命友誼”，這種友誼讓他們三個人有了同生共死的信念，在這種觀點之下，關羽是絕不可能拋棄兄弟投降孫權的。
所以無論是從大義還是小義方面來看，孫權都不可能讓關羽為自己所用，可是放他離開的話必然會成為日後的大麻煩，與其這樣還不如直接斬殺對方。
而且就算關羽年事已高，不足為慮。但他是敵將，戰場上抓到敵將，不降者，只有殺掉，這是規矩。當年關羽在曹操陣營，那是因為他投降了曹操。此外呂布麾下悍將高順，其能力不下張遼，但他不降，曹操也只有殺掉。還有龐德，同樣是不降，雖然其乃是馬超舊將，關羽還是要殺他。
所以，殺關羽，符合戰場規矩。
第二是私怨
孫權對於劉備和關羽這兩兄弟可以說是恨之入骨，首先劉備借荊州不還，並因此而崛起，拿了孫權心心念唸的西川，其實力已經漸漸超過東吳，甚至於輕視孫權，這讓孫權感覺很受辱。
而關羽，更是因為拒絕孫權嫁女一事，讓孫權心有記恨。當時孫權有意結交關羽，便替自己的兒子向關羽的女兒求婚，結果關羽辱罵來使，拒絕結親。如果不是當初關羽太過狂妄自大，不把孫權放在眼裡，也不會有後來的敗走麥城。
所以孫權殺關羽，也有著為當初的恥辱報復的意思。
第三是嫁禍曹操
當時孫權殺了關羽之後，第一時間將關羽的頭送到了曹操那裡。意思很明顯了，就是想告訴劉備，這殺關羽是曹操的意思，我們東吳只不過是個從犯。冤有頭，債有主，你找曹操去。
