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看的是《三国演义》吧？历史上关羽是马忠杀的，当然这可能有着吕蒙授意之嫌。
而吕蒙杀关羽，有两个可能。第一他自作主张，第二是孙权授意。
首先自作主张可能性不大，吕蒙虽然与关羽有隙，当年为了“还荆州”两人没少碰撞。但好歹身为东吴主将，杀关羽这样的大事儿，他没有理由独断。关羽可不是普通武将，其更是刘备出生入死的兄弟，杀了他势必会与蜀汉结下死仇，事关东吴存亡，吕蒙没那么打胆子。
所以，这件事儿应该孙权授意。那么孙权为何要杀关羽，要知道这一杀，他与刘备就彻底断了。
个人觉得主要有三点原因：
第一点：关羽不降。
不降之将，必须得杀，这是规矩！
从大义方面来看，关公起兵的本意就是为国家除贼，虽然这个名义听起来略微有些“浮夸”，但是它却代表了起义行动的基本方针。古代做任何事情都讲究“师出有名”，没有正当名义的事情是不可能成功实现的，所以对于当时的人来说，给自己找一个正当的“谋反”名义是立命安身的根本。
关羽从起义开始就以扶助汉室为指导思想，虽然在中途被曹操俘虏，但是他依然表现出不与反贼共事的原则，从当时的巨石来看，孙权的势力也是标准的叛军势力，所以孙权自己也非常清楚，自己和关羽的思想是不可能相容的。 
从小义来看，关羽和刘张是非常亲密的兄弟，虽然三人并没有实际的血缘关系，但却因为同处乱世，彼此之间已经培养出了极其深厚的“革命友谊”，这种友谊让他们三个人有了同生共死的信念，在这种观点之下，关羽是绝不可能抛弃兄弟投降孙权的。
所以无论是从大义还是小义方面来看，孙权都不可能让关羽为自己所用，可是放他离开的话必然会成为日后的大麻烦，与其这样还不如直接斩杀对方。
而且就算关羽年事已高，不足为虑。但他是敌将，战场上抓到敌将，不降者，只有杀掉，这是规矩。当年关羽在曹操阵营，那是因为他投降了曹操。此外吕布麾下悍将高顺，其能力不下张辽，但他不降，曹操也只有杀掉。还有庞德，同样是不降，虽然其乃是马超旧将，关羽还是要杀他。
所以，杀关羽，符合战场规矩。
第二是私怨
孙权对于刘备和关羽这两兄弟可以说是恨之入骨，首先刘备借荆州不还，并因此而崛起，拿了孙权心心念念的西川，其实力已经渐渐超过东吴，甚至于轻视孙权，这让孙权感觉很受辱。
而关羽，更是因为拒绝孙权嫁女一事，让孙权心有记恨。当时孙权有意结交关羽，便替自己的儿子向关羽的女儿求婚，结果关羽辱骂来使，拒绝结亲。如果不是当初关羽太过狂妄自大，不把孙权放在眼里，也不会有后来的败走麦城。
所以孙权杀关羽，也有着为当初的耻辱报复的意思。
第三是嫁祸曹操
当时孙权杀了关羽之后，第一时间将关羽的头送到了曹操那里。意思很明显了，就是想告诉刘备，这杀关羽是曹操的意思，我们东吴只不过是个从犯。冤有头，债有主，你找曹操去。
