我們都知道圓周率π是一個非常神奇的數字。其實在數學中，還有一個神奇的數字，思考不遜於π，這個數字就是自然對數的底數e。
世界上最大的搜索引擎谷歌公司在2004年8月19日上市，在招股說明書中稱將融資規定為2718281828美元(約合人民幣16763644033元)。並且Google兩名創始人拉里-佩奇和謝爾蓋-布林在招股說明書的一封公開信中稱，公司的目標是“不作惡”(Don’t be evil)。
谷歌上市
拋開搜索引擎是不是作惡這個問題不談，我們談一下，為什麼谷歌的創始人要把融資規模規定成2718281828美元呢？要知道，這兩個人可都是美國硅谷的天才，數學思維可是頂呱呱，規定這個一個數字肯定是有深遠意義的。
原來這個數正好是自然對數的底數e的近似值。
那麼，這個e到底是什麼東西？他和我們的生活又有什麼關係呢？
今天我們嘗試用跳開數學說數學，更宏大的視角來講講e的故事，讓不太懂數學的人也能理解什麼是自然對數的底數。
e有時被稱為自然常數（Natural constant），是一個約等於2.71828182845904523536……的無理數。
有的人說，什麼自然常數嘛，連個有理數都不是，居然還說是自然。其實這個自然，並不是我們所說的大自然的意思，而是有一點“理所當然，天然存在”的意思。
要理解這個天然存在，我們還要追溯到古希臘時期。不得不說，古希臘文明的存在是人類歷史上的一個奇葩。我們常說四大文明，其實從對人類現代文明的影響程度來看，四大文明的總和都未必能比得上古希臘文明。
雅典學派
現代人的基礎教育，無論是什麼國家、什麼社會制度、什麼民族，在教科書裡除了介紹自己的古代成就外（如四大發明），還會大篇幅的介紹古希臘的科學、哲學思想，來啟蒙學生的心智，這是跨越國界的共同做法。古希臘的故事有機會的話，這個以後我們再慢慢給大家細說。今天我們只從古希臘對數字的理解這個角度來說。
畢達哥拉斯
我們知道古希臘的畢達哥拉斯學派在當時的影響力特別大，有點中國墨家的意思。這個學派收很多學生，卻對自己的研究成果非常保密。其中有一項成果就是發現了“畢達哥拉斯定理”，也就是中國人所謂的“勾股定理”。這在當時的造成了很大的轟動。畢達哥拉斯本人也認為掌握了上帝創世的秘密，也就是“萬物皆數”。什麼意思呢，就是說萬事萬物都存在著數量的關係，這是天經地義，非常自然的事情。
但是所謂的“萬物皆數”，在當時這個數字，其實指的僅僅是有理數。這就是當時人們的認識程度。以至於一個學生希帕索斯發現根號2這個數以後，畢達哥拉斯大驚失色，認為這個學生被魔鬼附體了，才創造出這麼冒犯上帝的數字，就把他扔到海里餵魚了。
所以科學的進步，離不開寬容的態度，尤其是權威者的寬容。只有掌握了必要的運算，規律，數學才能逐步地成長起來。
我們知道根號2的發現，解釋了x^2=2 這個式子。引入了開方運算後，居然可以利用有理數2，來產生一個無理數 。
好了，回到我們的話題主角，自然常數e。他的發現也離不開有理數，更具體的說是離不開利息的計算。
美索不達米亞在今天的伊拉克地區
7000年前，美索不達米亞的蘇美爾人因為發達的農業和貿易，建立起人類最早的文明和城市，也第一個發明了利息。打一個比方，就像一個人是把一隻耕牛借給了別人，除了可以得到耕牛的租賃費用以外，還應該得到出售牛奶和小牛犢的錢。同樣的，把錢借給別人，也應該得到錢再生的那部分錢，這就是利息。
關於這一點，後來的柏拉圖和亞里士多德堅決反對，錢又不是活物，怎麼會省錢呢？柏拉圖式亞里士多德的老師，蘇格拉底是柏拉圖的老師，這三個人被合稱 “希臘三賢”，在哲學和邏輯學方面貢獻良多。這個也不是我們今天說的重點。以現在的觀點來看，柏拉圖和他的學生是錯了，錢用於投資的時候，是可以生錢的，這是現代經濟學的一個基本常識。
舉一個例子：
如果一個人投資1元，年息率是100%，那麼第二年他就可以得到2元。
如果一年結算兩次利息，那個半年的利率應該是 ，第二年可以得到本息
如果每年結算三次利息，那麼第二年可以得到本息
我們再往下看，尋找規律：
假設銀行人品爆發，一年365天，願意天天付利息，這樣利滾利的餘額≈2.71456748202元
假設銀行喪心病狂的每秒付利息，你也喪心病狂的每秒都再存入，1年利滾利的餘額≈2.7182817813元。這個數越來越接近於e了！
但是我們能發現利滾利的本息也有一個極限，這個極限就是e。它的含義是單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限值。這就是e的來歷。
現在我們可以比較一下圓周率π和自然常數e這兩個著名常數。
· 邊數越多越接近圓，利滾利越多越接近最大收益；
· 一個對角線為1的多邊形，其周長的極限值是π；
· 一個本金為1利率為1的存款，其存款餘額的極限值是e。
按照古希臘的自然思想來看：
· 對於一個完美的圓來說，π才是自然的，是圓本身的屬性，儘管從數值上是一個“無理”的數；
· 對於最快速的指數增長來說，e才是自然的，這是指數增長本身的屬性。
一個是π，一個是e，看似兩個毫無關係的無理數，在性質上居然有如此相似之處，這恰恰又說明了數學的美無處不在。
那麼我們再來說說，對數有什麼用。
我們知道在某些領域要進行一些非常複雜的計算，尤其是在天文學裡。數學家為了計算兩個行星之間的距離，或者是某顆行星的軌道，計算中涉及到的數值是非常大的。而且會經常用到兩個數相乘的情況。
但是對數有一個好處，他可以把兩個數的乘積，轉化成兩個對數的和。算加法總比計算乘法要簡單，那麼現在的問題就轉化成了求出logA和logB的值了。
在歷史上解決這個問題的人叫做約翰·納皮爾（1559-1617）。說起皮納爾，也是一個數學史上的奇葩。
為什麼這樣說呢？皮納爾出生在一個蘇格蘭貴族家庭，一生沒有一個正當職業，吊兒郎當。年輕時正值歐洲掀起宗教革命，他行旅其間，頗有感觸。蘇格蘭轉向新教，他也成了寫文章攻擊舊教(天主教)的急先鋒(主要文章於1593年寫成)。其時傳出天主教的西班牙要派無敵艦隊來攻打，Napier就研究兵器(包括拏炮、裝甲馬車、潛水艇等)準備與其拼命。雖然Napier的兵器還沒製成，英國已把無敵艦隊擊垮，他還是成了英雄人物。
1594年，納皮爾為了尋求一種球面三角計算的簡便方法，就想創造一種新的工具。納皮爾不是一般人，特別能耐得住寂寞，於是用了20年的時間，進行了數百萬次的計算，發明了對數和對數表，堪稱學霸中的戰鬥機。
對數的發明，也幫了當時很多天文學家一個大忙。歐洲歷來重視天文學，從古希臘時代就不斷有人對天體運動感興趣。數千年來更是對繪製天體星圖樂此不疲。從公元1世紀的托勒密到公元16世紀的哥白尼，都曾經長期觀察天體運動，並且繪製出了許多星空圖。
古時北天星圖 （尤指古埃及、古希臘和古羅馬時期）
古時南天星圖 （尤指古埃及、古希臘和古羅馬時期）
但是古代的星空圖由於測量和計算工具的原因，一直都打不到滿意的精確度，直到納皮爾發明了對數，第谷和他的學生
開普勒彩繪畫出了當時最精確的天體分佈圖。有了高精度的星圖，全歐洲的數學家開始了天體軌道的計算競賽，很多科學家也因此獲得了商業和學術上的豐厚回報。那時的天文學家、數學家可不是像現代這麼冷門，更像當今那些IT、金融等熱門行業裡的精英一樣，享受著人人羨慕的不菲高薪。而科學家們也發現，在做數學分析時，用e做底數的對數 ln x 做計算，其形式是最簡約的，用其他對數例如lg x 做計算，都會畫蛇添足的多一些麻煩。
自然對數ln x 就像美學上的“增之一分則太長，減之一分則太短”。
拉普拉斯認為“對數的發現，以其節省勞力而延長了天文學家的壽命”。
伽利略說過“給我空間、時間及對數，我就可以創造一個宇宙。”
對數學家來說，最簡就是最美。這是一種純理性的美，通過感官是無法欣賞的，只有熟悉數學的人才能深刻的感受到。這種美令無數數學家為之痴迷，雖然不會像畢達哥拉斯那樣狂熱，但也終其一生孜孜以求。
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