今天和大家分享一道数学题，我花了一个小时做出来，但感觉太麻烦了，但也想不出更好的办法。
我们先来看一下题吧。
如图，已知等腰直角ΔABC中，AB=BC，∠ABC=90º，E、F分别在AB、AC上，且EA=EF，点O是AF的中点，点M是CE的中点,连接OB、MB，
（1）求证：∠OBM=45º ； BM:OB=√2：2
（2）将图1中ΔAFE绕点A旋转180º，如图2，求证（1）中结论。
（3）将图1中ΔAFE绕A点旋转任意一个锐角时，证明（1）中的结论。
本题主要考察直角三角形斜边上的中线是斜边的一半。关键点是证明ΔOMB是等腰直角三角形。
第（1）问和第（2）问，都比较简单，我们来看一下解题过程。
（1）作辅助线，连接EO，BO，
AE=EF，∠A=∠EFA=45°,所以△AEF是等腰直角三角形，可得EO⊥AF（三线合一）。
在直角△EOC中，OM=1/2EC；在直角△EBC中，BM=1/2EC,
所以有，OM=BM,∠1=∠2,∠3=∠4。
∠OMB=∠OME+∠BME=∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠3）=2∠ACB=90°
所以△OMB是一个等腰直角三角形。
∠OBM=45° ， BM：OB=sin45°=√2：2。
（2）旋转180°，F、A、C共线。
同第（1）题的方法，OM=BM，
∠1=2∠3，∠2=2∠4，∠1+∠2=2（∠3+∠4）=90°
所以，∠OMB=90°，△OMB是一个等腰直角三角形。
所以，∠OBM=45° ， BM：OB=sin45°=√2：2。
比较难处理的是第（3）问，花费了很多时间。
因为OM、BM不再是斜边上的中线，上面的方法并不能直接运用。这就需要构造出两个直角三角形，它们有共同的斜边，OM、BM分别是它们的中线。
我的想法是，过E作PE⊥AB，延长PM，与BC的延长线相交出Q。易证△PEM与△QCM是相似三角形，可得PM=QM，PE=CQ。这样BM就是直角△PBQ的中线。
连接PO，QO，如果△POQ是个直角三角形，所有问题就都解决了。可以是如何证明∠POQ是个直角，就非常的麻烦。我先说一下我的证明方法。
先看一下图，作了很多的辅导助，密密麻麻，都要得密集恐惧症了。
辅助线作法：
（1）过O作OJ⊥BQ，交PE于H，交AC于I，交BQ于J。
（2）过O点作OD⊥BA，交BA的延长线于D。
（3）过A点作AG⊥OJ，交OJ于G。
证明∠POQ是个直角的过程：
易知∠1=∠2=∠3。
∠3+∠AOH=90°,∠4+∠AOH=90°,所以∠3=∠4。
可证得△DOA≌△HOE，所以DO=HO=a，四边形DOHP是个正方形。
所以∠POH=45°, AD=HE。
△AGI是个等腰直角三角形，所以AG=GI=a=PH，可得OG=HI。
OG=AD=HE=b，所以可得QI=OH+HI=a+b，PE=PH+HE=a+b，QI=PE。
△IGC是个等腰直角三角形，IJ=CJ。
前面相似已证CQ=PE=OI，所以OJ=QJ。
△OJQ是等腰直角三角形，∠JPQ=45°
所以∠POQ=90°
这样，接下来的步骤就和第一问的步骤一样了。
好了，这道题就分享到这里。只是感觉非常麻烦。朋友们有什么好的方法，请予我分享一下。
閱讀更多 初中自學課堂 的文章
