myw58
1的階乘等於1，0的階乘也等於1，1的階乘和0的階乘相等，這不是互相矛盾嗎？0的階乘為什麼等於1？因為這是人為定義的，是一種特殊形式的階乘記號。
通常我們所說的階乘是指所有小於及等於該數的正整數的積，即n!=1×2×3×……×n。由於在計算過程中經常會遇到零的階乘無意義的情況，於是為了計算方便，才規定0的階乘為1。如果我們把階乘從正整數拓展到實數乃至複數領域，就形成了廣義階乘的概念。
在數學上，像這種人為規定的例子還很多。比如我們規定0為自然數。0為什麼是自然數？像這種問題，在數學上是無法給出證明的。為了學習使用方便，我們通常規定負數無對數，其實在複數領域，負數也有對數。
再舉一個比較貼切的例子。對於單項式，單項式中所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。只含有一個字母的單項式，它的次數就是1。但是單獨一個數也是單項式，於是我們又規定單獨一個數看成單項式時，它的次數為0。任何數（零除外）的0次方不是等於1嗎？邏輯上看似有問題，不過這並不打緊，因為這只是人為規定的。
不過我們可以問為什麼數學家會這樣規定？給零的階乘下定義只是為了讓相關數學公式的表述及運算更方便，事實證明這是有必要的，而且在邏輯上也並沒有什麼問題。
科學探索菌
0！＝1.
由於以前沒有把階乘拓寬，高中數學書上只是作了硬性的規定。
其實，拓寬到負整數階乘以後，自然而然的就解釋了0的階乘等於1.
就是：
因為(-1)！=-1*-2*-3*-4*-5*...
0*(-1)！＝1.
所以0！＝1.
詳見《張氏數演奕》之《張氏階乘數》
創新數
階乘最初是定義在自然數域，n！=1*2*…*n。這個很好理解。搞數學的都喜歡擴張領域，那階乘！能不能推廣到自然數以外呢？
很顯然，階乘的實質很容易提煉出一個遞推公式：（n+1）！=（n+1）*n！
那麼把n=0代入，有1！=1*0！，這就是0！=1的由來。
當然當我們想繼續推廣時會發現負整數的階乘沒法定義，按上述遞推公式，負整數的階乘應該在±∞交錯。
但如果你以為數學家們就此止步了，呵呵…
【前方高能預警】！！！
歐拉（又是他！）首先開始考慮把階乘推廣到實數域乃至複數。出發點仍然是那個遞推公式：
F（x+1）=（x+1）*F（x），此外有F（0）=1。
如果只考慮初等函數自然是不太可能的，但作為一個“把微積分從嬰兒一手帶大”（伯努利語）的大神，歐拉的武器庫早就不是冷兵器時代。
其實這個可以作為大學生一個特別好的微積分延展學習。如果給出提示：用含參數x的積分式來定義F，利用分部積分來滿足遞推公式。聰明的數學專業學生就應該想到使用兩個經典函數：
- 以x為指數的冪函數積分（產生遞推因子x）。
- 還有自然常數的指函數（積分不動點）。
從而有機會自己想出下面的公式：
x！=F（x）=∫yˣe⁻ʸdy，對y從0到+∞積分。
不難證明這個積分式滿足階乘的遞推公式，而且可以推廣到整個實數域甚至複數域。而且很明顯，除了負整數積分不收斂之外，其它都有確定值。
帖木兒
答：對階乘進行解析延拓後，就能得到著名的伽馬函數，我們根據伽馬函數，就可以得到"0！=1"。
階乘
階乘是指所有小於以及等於某個數的正整數之積，記為：
n！=1×2×3×……×n；
在排列組合中我們經常遇到階乘運算，比如5個人按照順序進行排隊的話，就有“5！=120種”排列方法。
按照階乘的定義，我們很容易得出這麼一個結論：
（n+1）!=(n+1)*n!，其中n≥1且為整數；
至於n=0的情況，超出了階乘的定義範圍，但是我們為了讓上面式子繼續成立，我們強行把n=0帶進去有：
（0+1）！=（0+1）*0！
由於1！=1，所以我們得出0！=1的結論，大家要注意了，這只是一個試探性的結論，不過我們為了保證數學公式的連續性，完全可以定義：
0！=1
這樣的話，對於階乘來說，我們就能把定義域再加上一個“0”；那麼0的階乘等於零又有何意義呢？這樣的定義是否合理？
伽馬函數
對於0的階乘等於零，更嚴謹的證明需要用到伽馬函數Γ（n）：
這是大數學家歐拉在1729年，經過解析延拓後得到的函數，也是對階乘函數的擴展，這個函數擁有一個非常有趣的性質：
Γ（n+1）=nΓ（n），其中n>0；
於是我們很容易得到：
對於最後一個公式，當n=1時：
Γ（1）=（1-1）！=0！=1
得證！
伽馬函數的定義域不在僅限於整數，對於非整數也是成立的，如果利用伽馬函數的遞歸公式，還可以把伽馬函數的定義域擴展到負數上。
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艾伯史密斯
從階乘的定義出發。從階乘表達式n！=n×（n-1）!中，知道一個數的階乘是遞推定義的。比如要計算一個任意的整數m的階乘，我們就把m作為初值，計算m!=m×（m-1）!。
同樣的，當m=l時，m！=1!=1×0!=1，取等式中最後一個等號的兩邊，即1×0!=1，這個等式兩邊同時約去1，就得到如下結果：0!=1。
階乘的計算方法是1乘以2乘以3乘以4，一直乘到所要求的數。例如所要求的數是6，則階乘式是1×2×3×…×6，得到的積是720，720就是6的階乘。
如果所要求的數是n，則階乘式是1×2×3×…×n，設得到的積是x，x就是n的階乘。任何大於1的自然數n的階乘的表示方法是：n！=1×2×3×……×n或n！=n×（n-1）!。
懂小姐的先生
在自然數域中，階乘時遞減至1為止，不是至0為止。O乘以任何數均為0。在自然數域內不存在O的階乘。嚴格地講，O並不具有自然數的性質，把O當自然數推演，要小心引出悖論。＜例＞。O×1＝O，0×2＝O。O×1＝0×2。左右消去”等值數0＂，得l＝2。？？演算過程無誤，關鍵是概念錯誤。所以特別提醒年輕朋友，在涉及數理力學科時，要牢固把握＂基本概念＂。粗略看過幾位朋友的論式，其實都在於沒搞請0的本質，把它當自然數去推演。另外，階乘運算只在自然數域，沒有1.5！或（一1）！的說法。建議對數學有興趣的朋友，手邊常備一冊中小型《數學手冊》。
王祖蔭1
你學過算法沒，求多個數的和時首先置變量為O，再s=s+n，而求多個數的積時，首先置變量為1，再s＝s*n，這樣才保證s不會為O，階乘顯然是積的形式，只能置初始變量為1
虹子69085567
0！本身沒有意義，但是在計算過程中又需要使用它，就補充定義了0！=1，僅此而已。有些人胡亂發揮想當然。
星43849490
1是表示你有一種選擇，0是表示沒有選擇，而沒有選擇就是你唯一的選擇！
曉春796
階乘只是噶嘛函數的特例
