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模擬測試試卷 參考答案及評分標準：
一、 選擇題（每小題 3 分，共 30 分）
1、B 2、D 3、C 4、B 5、A
6、C 7、B 8、C 9、B10、A
二、填空題（每小題 3 分，共 15 分）
11、6
12、 m＞9
13、√3/2
14、8π﹣16
15、2/3 或（8 - 2√7）/ 3
三、解答題（本大題共 8 個小題，滿分 75 分）
16、（8 分）
當 x = - 2 時，原式 = 1/2 . ..................... 8 分
17、（9 分）解：
(1) 調查的總人數為 20 ÷ 40% = 50（人），
∴ 喜歡籃球項目的同學的人數
= 50﹣20﹣10﹣15 = 5（人）；
“乒乓球” 的百分比 = 10/50 = 20%，
∵ 800 × 5/50 = 80，
∴ 估計全校學生中有 80 人喜歡籃球項目；
故答案為 5，20，80；………………3分
(2) 如圖，
(3) 所抽取的2名同學恰好是1名女同學和1名男同學的概率 = 12/20 = 3/5．………9分
18、（9 分）
(1) 證明：連接 OM，
由圖可知：∠AOC= 2∠ABC，
∵ MA，MC 分別切於點 A、C，
∴ ∠OCM = ∠OAM = 90°，
∴ ∠MOC = ∠MOA = ∠ABC，
∴ OM// BD .
又 ∵ O 為 AB 中點，
∴ M 為 DA 中點，即 DM = AM………………5分
(2) ① 3 , ② √3 ………………9分
19、（9 分）
解：延長 CA 交河對岸於點 D，
由題意可知：
∠ACB = 33°，∠DAB = 45°，CA = 20 cm，
設 AD = x，在 Rt△ADB 中，∠DAB = 45°，
∴ CB = AD = x………………3分
CD = CA + AD = 20 + x ………………4分
在 Rt△CDB 中，∠ACB = 33°，
∴ tan 33° = BD/CD，即 0.65 ≈ x /（20 + x） ………………6分
解得 x ≈ 37,
∴ 這段河的寬度約為 37 米.………………9分
20、（9 分）解：
(1) 過點 A 分別作 AM⊥y 軸於 M 點 , AN⊥x 軸於 N 點 ,
∵ △AOB 是等腰直角三角形，
∴ AM = AN，
設點 A 的座標為 ( a , a )，
∵ 點 A 在直線 y= 3x − 4 上，
∴ a = 3a − 4，
解得：a = 2，則點 A 的座標為 ( 2 , 2 )，
∴ k = 4………………3分
(2) 由 A( 2 , 2 ) 及 △AOB 為等腰直角三角形，
∴ B( 4 , 0 )，C( 0 , −4 )，
∴ AC2 = 40 , AB2 = 8 , BC2 = 32 ,
∴ AC2 = AB2 + BC2 ,
∴ △ABC 為直角三角形 , 即 ∠ABC = 90°，
則 S△ABC = 1/2 × AB × BC = 8；…………7分
(3) 存在點 M( 4 , 1 ) ………………9分
21、（10 分）解：
(1) 設購買一副乒乓球拍 x 元，一副羽毛球拍 y 元，由題意得，
2x + y = 116 , 3x + 2y = 204 ; …………………2分
解得：x = 28 , y = 60 .
答：購買一副乒乓球拍 28 元，一副羽毛球拍 60 元．…………………5分
(2) 設可購買 a 副羽毛球拍，則購買乒乓球拍（30﹣a）副，
由題意得，60a + 28（30﹣a） ≤ 1480，…………………7分
解得：a ≤ 20，
答：這所中學最多可購買 20 副羽毛球拍．…………………9分
22、（10分）解：
(1) ①、②、③．…………………3分
(2) ① 解：如下圖所示，當點 E 在 AB 上時，BE = AB﹣AE = 2．
∵ ∠EAC = 90°，AE = 2 , AC = 4 ,
∴ CE = 2√5，
同 (1) 可證 △ADB ≌ △AEC．
∴ ∠DBA = ∠ECA．
∵ ∠PEB = ∠AEC，
∴ △PEB ∽ △AEC．
∴ PB = 4√5 / 5 .
如下圖所示，當點 E 在 BA 延長線上時，BE = 6．
∵ ∠EAC = 90°，AE = 2 , AC = 4 ,
∴ CE = 2√10，
同 (1) 可證 △ADB ≌ △AEC．
∴ ∠DBA = ∠ECA．
∵ ∠BEP = ∠CEA，
∴ △PEB ∽ △AEC，
∴ PB = 12√5 / 5 ,
綜上，PB = 4√5 / 5 或 12√5 / 5．…………………8分
② 解：如下圖所示，以 A 為圓心 AD 長為半徑畫圓，
當 CE 在 ⊙A 上方與 ⊙A 相切時，PB 的值最大．
理由：此時 ∠BCE 最大，因此 PB 最大，
（△PBC 是直角三角形，斜邊 BC 為定值，∠BCE 最大，因此 PB 最大）.
∵ AE⊥EC，AC = 4 , AE = 2 ,
∴ EC = 2√3，
由 (1) 可知，△ABD ≌ △ACE，
∴ ∠ADB = ∠AEC = 90°，BD = CE = 2√3，
∴ ∠ADP = ∠DAE = ∠AEP = 90°，
∴ 四邊形 AEPD 是矩形，
∴ PD = AE = 2，
∴ PB = BD + PD = 2√3 + 2．
綜上所述，PB 長的最大值是 2√3 + 2．…………………10分
23、（11 分）解：
(1) ∵ B（2，t）在直線 y = x 上，
∴ t = 2，
∴ B（2，2），…………………1分
把 A、B 兩點座標代入拋物線解析式可得 :
∴ 拋物線解析式為 y = 2x2﹣3x；…………………3分
(2) 如圖1，過 C 作 CD∥y 軸，交 x 軸於點 E，交 OB 於點 D，過 B 作 BF⊥CD 於點 F，
圖1
∵ 點 C 是拋物線上第四象限的點，
∴ 可設 C（t，2t2﹣3t），則 E（t，0），D（t，t），
∴ OE = t，BF = 2﹣t，CD = t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2 + 4t，
∴ S△OBC = S△CDO + S△CDB
= 1/2 CD•OE + 1/2 CD•BF
= 1/2（﹣2t2 + 4t）（t + 2﹣t）
=﹣2t2 + 4t，
∵ △OBC 的面積為 2，
∴﹣2t2 + 4t = 2，解得 t1 = t2 = 1，
∴ C（1，﹣1）；…………………6分
(3) ① 設 MB 交 y 軸於點 N，如圖2，
圖2
∵ B（2，2），
∴ ∠AOB = ∠NOB = 45°，
在 △AOB 和 △NOB 中，
∵ ∠AOB = ∠NOB，OB = OB , ∠ABO = ∠NBO，
∴ △AOB ≌ △NOB（ASA），
∴ ON = OA = 3/2，
∴ N（0，3/2），
∴ 可設直線 BN 解析式為 y = kx + 3/2，
把 B 點座標代入可得 2 = 2k + 3/2，解得 k = 1/4，
∴ 直線 BN 的解析式為 y = 1/4 x + 3/2，
聯立直線 BN 和拋物線解析式可得：
∴ M（﹣3/8，45/32），…………………9分
② ∵ C（1，﹣1），
∴ ∠COA = ∠AOB = 45°，且 B（2，2），
∴ OB = 2√2，OC = √2，
∵ △POC ∽ △MOB，
∴ OM/OP = OB/OC = 2，∠POC = ∠BOM，
當點 P 在第一象限時，
如圖3，過 M 作 MG⊥y 軸於點 G，過 P 作 PH⊥x 軸於點 H，
圖3
∵ ∠COA = ∠BOG = 45°，
∴ ∠MOG = ∠POH，且 ∠PHO = ∠MGO，
∴ △MOG ∽ △POH，
∴ OM/OP = MG/PH = OG/OH = 2 ,
∵ M（﹣3/8，45/32），
∴ MG = 3/8，OG = 45/32，
∴ PH = 1/2 MG = 3/16，OH = 1/2 OG = 45/64，
∴ P（45/64，3/16）；
當點 P 在第三象限時，
如圖4，過 M 作 MG⊥y 軸於點 G，過 P 作 PH⊥y 軸於點 H，
圖4
同理可求得：
PH = 1/2 MG = 3/16，OH = 1/2 OG = 45/64，
∴ P（﹣3/16，- 45/64）；
綜上可知存在滿足條件的點 P，
其座標為（45/64，3/16）或（﹣3/16，- 45/64）．……11分
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