从经典力学到量子力学，是物理学史上的一个飞跃，然而这种飞跃并不是凭空出现的，它经过了200多年的发展。在这过程中，经典力学也不是一成不变的，它也经历了从牛顿力学到分析力学，又从分析力学到哈密顿力学，最后从哈密顿力学到量子力学的跨越。而在此过程中，哈密顿力学无疑是从经典力学到量子力学的一座桥梁，这座桥梁的奠基人和建造者就是爱尔兰数学家、物理学家哈密顿。
威廉·罗万·哈密顿
在《数学史话》系列中我们已经谈到过哈密顿的生平，所以这里就不再赘述了。科普君在这里只谈谈哈密顿在物理学上的贡献。
1657 年，法国数学家费马提出了一条基本原理，即光线在传播过程中总是沿着光程(光传播的路程与介质折射率的乘积)取极值的路径传播，这就是费马原理。这条原理可以解释为什么光在均匀介质中总是沿直线传播，因为两点间以直线距离最短。1833年，哈密顿把费马的这条原理引入经典力学，提出经典力学的哈密顿最小作用原理。1835年，他发表了具有深远影响的论文《变分作用原理》和《波动力学的一般方法》。在这两篇论文中，哈密顿首先从费马原理出发，发展了几何光学的定律，进而证明，光线轨迹可以利用对单一数学量特征函数的计算得出。他发现，这一特征函数与对应单粒子动力学作用量函数的特征非常相似，而几何光学中光线轨迹又与牛顿力学单粒子的轨迹十分相似，这启发了哈密顿，他猜想，一定可以找到一种与几何光学类似的形式来表述力学规律，只要从力学的最小作用量原理出发，把它变换为与费马原理相似的形式，就一定可以找到力学与光学的统一表示。对比费马原理，哈密顿提出了著名的等时最小作用量原理，即哈密顿原理。哈密顿认为，体系在一定时间间隔内由一点到另一点满足约束条件的运动是多种多样的，这就需要在这些运动中找出满足动力学关系的真实运动。哈密顿原理所给出的就是这样一条准则。人们为了追求自然规律的统一、和谐，按照科学的审美观点，总是试图用尽可能少的原理去概括尽可能多的规律，哈密顿原理正好符合这样的要求。它具有统一、简洁、完美的形式，具有坐标变换的不变性，从而使其具有很大的普适性。哈密顿原理更深刻地揭示了客观事物之间的紧密联系，把力学原理归结为更为一般的形式，从而成为从经典力学到近代物理学理论的桥梁。因此，哈密顿原理有极其重要的理论价值，它可以用来创建新的理论，根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数。使用哈密顿原理导出运动方程，这是牛顿三大运动定律建立之后力学理论发展的一次最大的飞跃。
经典力学哈密顿理论有极其重要的价值。首先，它是经典力学向量子力学和广义相对论过渡的桥梁。正如量子力学的建立者之一薛定谔所说，"哈密顿力学是现代物理学的基石"。现代物理学的两大基础--量子力学和广义相对论的建立都与哈密顿力学有着直接关系。薛定谔建立的量子力学波动方程是直接从哈密顿-雅可比方程过渡而来的，在正则方程基础上发展起来的哈密顿-雅可比方程是量子力学建立以前相关领域的主要研究方法，而狄拉克和费米所建立的路径积分形式的量子力学则与哈密顿原理的形式类似。爱因斯坦在建立引力场方程过程中也运用了哈密顿原理，这在其经典著作《相对性原理》一书中有清楚的描述。其次，是这一原理中的对偶性思想。对偶性即前面提到的力学与几何光学运动方程中的相似性。这些相似性表明，粒子的行为可以由波动性描述，而光的波动性又可以与粒子的行为相关，这就是哈密顿原理中所蕴含的对偶性思想。根据这一思想，本来不难进一步找到具有波动性质的力学方程。然而在哈密顿所处的时代，经典力学被认为是绝对正确的，粒子具有波动性被认为是不可思议的，直到量子力学兴起以前，哈密顿方程中对偶性的深刻意义在长达近一个世纪的时间里，一直被人们所忽略。薛定谔曾在诺贝尔奖演讲中说:"哈密顿原理和费马原理之间的密切相似性几乎被忘记了。如果还记得的话，也只是记住了数学理论的奇妙性。"直到20 世纪，在德布罗意和薛定谔创建量子力学之后，两原理间的相似性及深刻的物理内涵才被充分阐明。
预告一下，下期人物：西门子
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