從經典力學到量子力學，是物理學史上的一個飛躍，然而這種飛躍並不是憑空出現的，它經過了200多年的發展。在這過程中，經典力學也不是一成不變的，它也經歷了從牛頓力學到分析力學，又從分析力學到哈密頓力學，最後從哈密頓力學到量子力學的跨越。而在此過程中，哈密頓力學無疑是從經典力學到量子力學的一座橋樑，這座橋樑的奠基人和建造者就是愛爾蘭數學家、物理學家哈密頓。
威廉·羅萬·哈密頓
在《數學史話》系列中我們已經談到過哈密頓的生平，所以這裡就不再贅述了。科普君在這裡只談談哈密頓在物理學上的貢獻。
1657 年，法國數學家費馬提出了一條基本原理，即光線在傳播過程中總是沿著光程(光傳播的路程與介質折射率的乘積)取極值的路徑傳播，這就是費馬原理。這條原理可以解釋為什麼光在均勻介質中總是沿直線傳播，因為兩點間以直線距離最短。1833年，哈密頓把費馬的這條原理引入經典力學，提出經典力學的哈密頓最小作用原理。1835年，他發表了具有深遠影響的論文《變分作用原理》和《波動力學的一般方法》。在這兩篇論文中，哈密頓首先從費馬原理出發，發展了幾何光學的定律，進而證明，光線軌跡可以利用對單一數學量特徵函數的計算得出。他發現，這一特徵函數與對應單粒子動力學作用量函數的特徵非常相似，而幾何光學中光線軌跡又與牛頓力學單粒子的軌跡十分相似，這啟發了哈密頓，他猜想，一定可以找到一種與幾何光學類似的形式來表述力學規律，只要從力學的最小作用量原理出發，把它變換為與費馬原理相似的形式，就一定可以找到力學與光學的統一表示。對比費馬原理，哈密頓提出了著名的等時最小作用量原理，即哈密頓原理。哈密頓認為，體系在一定時間間隔內由一點到另一點滿足約束條件的運動是多種多樣的，這就需要在這些運動中找出滿足動力學關係的真實運動。哈密頓原理所給出的就是這樣一條準則。人們為了追求自然規律的統一、和諧，按照科學的審美觀點，總是試圖用盡可能少的原理去概括儘可能多的規律，哈密頓原理正好符合這樣的要求。它具有統一、簡潔、完美的形式，具有座標變換的不變性，從而使其具有很大的普適性。哈密頓原理更深刻地揭示了客觀事物之間的緊密聯繫，把力學原理歸結為更為一般的形式，從而成為從經典力學到近代物理學理論的橋樑。因此，哈密頓原理有極其重要的理論價值，它可以用來創建新的理論，根據實驗結果和假設構造出拉格朗日函數。使用哈密頓原理導出運動方程，這是牛頓三大運動定律建立之後力學理論發展的一次最大的飛躍。
經典力學哈密頓理論有極其重要的價值。首先，它是經典力學向量子力學和廣義相對論過渡的橋樑。正如量子力學的建立者之一薛定諤所說，"哈密頓力學是現代物理學的基石"。現代物理學的兩大基礎--量子力學和廣義相對論的建立都與哈密頓力學有著直接關係。薛定諤建立的量子力學波動方程是直接從哈密頓-雅可比方程過渡而來的，在正則方程基礎上發展起來的哈密頓-雅可比方程是量子力學建立以前相關領域的主要研究方法，而狄拉克和費米所建立的路徑積分形式的量子力學則與哈密頓原理的形式類似。愛因斯坦在建立引力場方程過程中也運用了哈密頓原理，這在其經典著作《相對性原理》一書中有清楚的描述。其次，是這一原理中的對偶性思想。對偶性即前面提到的力學與幾何光學運動方程中的相似性。這些相似性表明，粒子的行為可以由波動性描述，而光的波動性又可以與粒子的行為相關，這就是哈密頓原理中所蘊含的對偶性思想。根據這一思想，本來不難進一步找到具有波動性質的力學方程。然而在哈密頓所處的時代，經典力學被認為是絕對正確的，粒子具有波動性被認為是不可思議的，直到量子力學興起以前，哈密頓方程中對偶性的深刻意義在長達近一個世紀的時間裡，一直被人們所忽略。薛定諤曾在諾貝爾獎演講中說:"哈密頓原理和費馬原理之間的密切相似性幾乎被忘記了。如果還記得的話，也只是記住了數學理論的奇妙性。"直到20 世紀，在德布羅意和薛定諤創建量子力學之後，兩原理間的相似性及深刻的物理內涵才被充分闡明。
預告一下，下期人物：西門子
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