艾伯史密斯

数学自诞生以来2000多年，诞生了无数精美绝妙又让人拍案叫绝的证明，这也是数学让很多人如痴如醉的原因所在。从最初等数学中的勾股定理，到大学阶段的微积分，抽象代数，拓扑等等，这样的例子举不胜举。我这里不列举具体例子，只是为大家推荐一本专门讲一些题目具体证明过程的书。

本书介绍了35个著名数学问题的极富创造性和独具匠心的证明。其中有些证明不仅想法奇特、构思精巧，作为一个整体更是天衣无缝。难怪，西方有些虔诚的数学家将这类杰作比喻为上帝的创造。这不是一本教科书, 也不是一本专著，而是一本开阔数学视野和提高数学修养的著作。希望每一个数学爱好者都会喜欢这本书，并且从中学到许多东西。

本书的英文原著第一版于1998年出版。随即受到数学界的广泛好评，并被陆续翻译成了十余种不同的文字，其中包括法文，德文，意大利文，日文，西班牙文和德文等。

该书从最简单的素数有无穷多个的证明谈起，内容涵盖了数论，几何，分析，组合数学，图论五大领域35个经典问题，很多问题探讨得十分深入。这35个问题如下：

第1章 素数无限的六种证明

第2章 Bertrand假设

第3章 二项式系数(几乎)非幂

第4章 表自然数为平方和

第5章 有限除环即为域

第6章 一些无理数

第7章三探π²/6 几何

第8章 Hilberlt第三问题：多面体的分解

第9章 平面上的直线构图与图的分解

第10章 斜率问题

第11章 Euler公式的三个应用

第12章 Cauchy的刚性定理

第13章 相切单纯形

第14章 每一个足够大的点集都会生成钝角

第15章 Borsuk猜想

第16章 集合，函数，以及连续统假设

第17章 不等式颂

第18章 关于多项式的Polya定理

第19章 Littlewood和Offord的一个引理

第20章 余切与Herglotz技巧

第21章 Buffon的投针问题

第22章 鸽笼与双计数

第23章 有限集上的三个著名定理

第24章 洗牌

第25章 格路径与行列式

第26章 关丁树计数的cayley公式

第27章 填充拉丁方

第28章 Dinitz问题

第29章 恒等式与双射

第30章 平面图的五色问题

第31章 博物馆的保安

第32章 Turan的图定理

第33章 无差错信息传输

第34章 朋友圈与交际花

第35章 概率(有时)让计数变得简单

有些问题难度较大，适合数学专业的人来阅读，相信读完本书，一定会受益颇丰的。

数学救火队长

看了几个回答谈到了反证法，想起了我一直的一个疑惑，和题目关系不是很大，我觉得反证法本身可能就有问题。

我高中的时候有一次数学练习题，有一道证明题，具体我忘了，总之大概就是给了一些条件，最后证明k>2，我当时就没有解出来，后来老师讲题的时候用的反证法，倒推后证明k<=2时与题目给定的条件不一致，所以k>2成立，其实这种题高中时倒也常见，但我当时突然有点疑问，就问了老师一个问题，如果我不去证明k<=2时不符合给定的条件，而是去证明k<=1时不符合给定的条件（这个肯定是成立的，因为k<=2的区间包含k<=1），那么这个题不就无法证明了？怎么确认“2”是恰好的分界点？也许还有"2.1"、“3”啊，老师让我证明一遍，我用反证法很快照着老师的思路证明k<=1时，不符合题目给定的条件，所以k>1(事实上，k>1包含k>2)，老师当时也有点懵，我当时学习不是那种很好的，老师就说让我别考虑别的数字，既然题目是2，就用2。所以，我一直到现在都觉得反证法本身是有局限的，甚至是有问题的。当然，一家之言，我本身数学也不大好，如果不对请勿喷，如果有人能解答疑惑，万分感谢。

看了很多回复，我觉得应该重申一下我要说的关键，我不是说这个题怎么样，我是对反证法这种证明方法有异议，因为这种证明题，一般都是根据条件推导出结论，几乎没用过反证法。如果把这个题改一下，其他条件都不变，但改成不知道结论的求解题，大家随便假设一个数，然后反证法证明了，这个过程也没有问题，但明显不对，再说如果我反证法证明了k>3，那算不算对？如果一个证明方法等得出很多不同的结果，还有什么意义？这里重点是那个恰好的节点，如果能证明2就是那个节点，那就不需要用反证法了。

流落星空

说一个小时候，寒木死活想不明白，仅靠记忆做题……

长大了，看到证明后，才心服口服的东东。

证明过程超级简单，小学三年级的人都能看懂。

除数不能等于零！

这是小学老师告诉我们的，但那时，他们很少告诉我们，这是为什么。

他们大多只会一边敲着黑板一边大喊：除数等于零，没有意义！没有意义！

这个“没有意义”实在是太难以理解了，折磨了寒木很长时间。

现在，我们用反证法来证明一下：

假设，0可以作为除数，则：

0×1=0

0×2=0

所以：

0×1=0×2

因为0可以作为除数，所以……

两边再除以0，得：

化简一下：

得：

1=2

矛盾，所以，0不能作为除数。

小学六年级的时候，如果老师能给我们这么证明一下，我们就不会去深入思考，那个“没有意义”到底是个什么意义了。

最后，来一个趣味题。

话说，有4个算命先生，分别是A、B、C、D先生。其中：

A先生：准确率10%，收费5元；

B先生：准确率45%，收费10元；

C先生：准确率60%，收费15元；

D先生：准确率80%，收费20元；

那么，你该选择哪个呢？既要追求准确率，还要追求性价比，能同时做到吗？

答案太容易了。

这样去思考，A先生的准确率只有10%，那就说明，他的错误率就是：

1-10%=100%-10%=90%

因此，你每次去找他算命，如果他说：

小伙子，你今年没有桃花运，要2020年才有哦。

则：

你今年拥有桃花运的概率是90%。

但你只需要花5块钱。

寒木钓萌

我业余数学兴趣者。有人证明：0.999…=1 证明大致可为

因为 1=3/3

=1/3+2/3

=0.333…+0.666…

=0.999…

所以 0.999…=1

我以为上述证明漏洞，严谨地讲 1/3、2/3应当表述为：

1/3=0.333…+无穷小量

2/3=0.666…+无穷小量

其符号…仅表述了无限循环数，

所以 1=1/3+2/3

=0.333…+无穷小量+0.666…+无穷小量

=0.999…+无穷小量

而 0.999…不等于0.999…+无穷小量，

所以 0.999…不等于1

以上为我业余数学兴趣者陋见，喜诸位老师指正。

甘云雄

我中学的时候，背平方和公式，a加b的平方=a平方+b平方+2ab，我总忘记那个2，感觉这个式子里这个2很突兀，完全没道理；直到看见一本辅导书，里面有个图，用长方形面积完美地解释了这个式子，我印象无比深刻，以至于现在还能画出来。

点点滴滴的低调

数学一向以严谨的思维著称，每一步推理都需要严格的理由。但在数学历史中，漏洞百出的数学推理也频频出现。有趣的是，即使是这些不严格的思路也充满着智慧，在数学中的地位不亚于那些伟大的证明。今天笔者举例几个经典让人拍案叫绝的异类证明，来说明在数学里证明有时也是可以耍流氓的。

1.勾股定理得的无字证明

这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《毕达哥拉斯命题》（ Pythagorean Proposition）提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶。这里给出一个不需要语言的证明方法。

最直观的证明：

实际上勾股定理是余弦定理的一种特殊情况，而余弦定理的证明，同样可以不用语言。

2.欧拉的流氓证明法

　　在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：

这是一个出人意料的答案，圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。

3.几何平均值小于算术平均值

这是不等式中最重要和基础的等式：

它也可以通过图形来证明。

注意到△ABC∽△DBA ,可以很轻松地得到AB=√ab。剩下的就显而易见了。

4.最受数学家喜爱的无字证明

1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。

《美国数学月刊》提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。

它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。死理性派曾经讨论过 这个问题 。同时它还是死理性派logo的出处。

5..棋盘上的数学证明

在一个8×8的国际象棋棋盘上，我们可以用32张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖整个棋盘上的64个方格。如果将对角线上的两个方格切掉，剩下来的62个格子还能用31张骨牌覆盖住吗？

答案是不能的。每一张骨牌在棋盘上必是覆盖住两个相邻方格，一白一黑。所以31张骨牌应该可以盖住31个黑格和31个白格。而这被切了角的棋盘上的方格有32个是一种颜色，另一种颜色是30个，因此是不能被31张骨牌覆盖的。

但是如果我们切掉的不是颜色相同的两个呢？假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住？我可以告诉你这是一定能做到的,并且关于这个结论，存在一个非常漂亮的证明。建议读者在继续往下阅读前，可以先自行思考如何证明这个结论。

上图就是那个漂亮的证明。不妨对它再赘述两句。粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路（如果切掉的方格是相连的，那就是一条线路）。在这两段（或一段）线路中，两种颜色的格子数量都是偶数，故分别都可以被若干张骨牌覆盖。从而证明整个棋盘可以被31张骨牌完全覆盖。

这个著名的棋盘问题是数学游戏大师马丁•加德纳提出的，而上述精妙绝伦的证明则是数学家哥莫瑞（Ralph Gomory）找到的。它们后来被收录在《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》这本书里。

6.旋轮线的面积求解

车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。

这个结论最早是由伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢？

他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。

在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了，广义费马点（generalized Fermat point）问题就能用一套并不复杂的力学系统解出，施泰纳问题（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。

中学数学深度研究

生日悖论，一个班有50个学生，存在相同生日的概率为97%。怎么算的很简单，但就是结果让你想不到。

陈卓0119

提一下勾股定理吧！毕竟——

不知道，你有没有注意到：在数学上，经常提到割补法！

割补大法就是，先是分割一下，再来个拼接。咦！瞬间眼前一亮——解决问题的思路也随之蹦出来了！

比如说，在小学，就经常用到割补法了。这里以梯形面积公式的推导为例，对梯形来个切割，再拼一下，就变成三角形了！而三角形面积公式是已经学过的了，所以梯形面积公式也就出来了。

这就是割补法的妙处。言归正传，说回鼎鼎大名的勾股定理！

特意画了个图，用数学语言来表述勾股定理：

用文字来说：勾股定理就是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

至于勾股定理的证明方法，据说有四百多种！神奇吧！

我们知道，在教材当中，是采用我国古代数学家赵爽的证明方法，也就是我们所熟悉的赵爽弦图。私以为这个证明很是经典~其证明思路，请见下图：

也就是将两个正方形进行分割，分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，再进行拼接，拼接为另一个正方形。这里便是利用图形分割前后的面积不变，来证明勾股定理。

勾股定理，有多个别称，毕达哥拉斯定理是其一。既然说是毕达哥拉斯定理，那就来一个毕达哥拉斯证法吧！

被吓跑了吗？我们还是来个简单点的！看下图：

这里可以看作是：从一个大正方形里分割出四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形来拼接。不管在这个大正方形里怎么拼，大正方形的面积是固定不变的，四个三角形的面积也是不变的，那么，剩下部分的面积自然也是相同的。

如果觉得上面绕，那就看这句：简单点，只看空白部分，白色部分的面积是相同的。

所以，勾股定理得证！

啊K数学

1.证明你妈是你妈

2.证明1=0.99999999999999999999999999999999999999999999999

3、证明e∧iπ+1=0

4、證明E=MC²

哇长门

有关数学公式的证明很多，下面介绍几个常见公式的巧妙证明过程。

（1）自然数的立方和=自然数之和的平方

上述等式的左边为自然数的立方和，等式的右边为自然数之和的平方。虽然通过分别推导出左右两边的计算公式就能证明该等式，但通过如下的图形很直观地就能证明上式：

把自然数立方和的图形平铺看来，其中的正方体数量刚好是就是自然数之和的平方，所以就能证明上述等式成立。

（2）勾股定理

这个公式为勾股定理，我国在商朝时就已经发现了直角三角形的一个特例——勾三股四玄五，后来的中外数学家通过各种方法来证明这个公式。下面要介绍的是加菲尔德证法的变形方法，这可以很容易证明勾股定理：

大正方形的面积为：

(a+b)^2

大正方形的面积也等于四个三角形的面积以及小正方形的面积之和：

4×(1/2ab)+c^2

由此可得下式：

(a+b)^2=4×(1/2ab)+c^2

化简之后，即可得勾股定理：

a^2+b^2=c^2

（3）欧拉恒等式

这个公式就是著名的欧拉恒等式，它被誉为最美的数学公式。一个十分简单的公式就结合了数学中最重要的常数——自然常数e、虚数单位i、圆周率π、自然数1、自然数0，以及最重要的数学符号——加号+、等号=。

欧拉恒等式源自于如下的欧拉公式：

对欧拉公式的左边e^(iθ)进行泰勒展开可得：

再分别对cosθ和sinθ进行泰勒展开可得：

显然，cosθ与sinθ之和刚好等于e^(iθ)，由此就能证明欧拉公式成立。再令欧拉公式中的θ=π，即可得下式：

e^(iπ)=-1+0

对上式进行移项，最终就可以推导出欧拉恒等式的常见形式。

（4）证明圆周率是无理数

圆周率是无理数的证明方法不少，下面要介绍的是数学家Ivan M. Niven给出的反证法，这种方法简单而又巧妙。

倘若π为有理数，必然存在整数a和b，使得下式成立：

π=a/b

构造如下两个函数：

其中n为正整数。

显然，f^k(0)、f^k(π)、F(0)以及F(π)都为整数。而且f(x)和f^k(x)都会满足f(x)=f(π-x)，它们都在x=0以及x=π处可积。

再构造函数G(x)=F'(x)sinx-F(x)cosx，并对其进行求导可得：

对上式两边从0到π都进行积分可得下式：

因为F(0)以及F(π)都为整数，故F(π)+F(0)亦是整数。当x∈(0, π)时，显然有f(x)>0且sinx>0，故f(x)sinx>0，所以F(π)+F(0)>0，并且f(x)sinx在[0, π]上的积分为正整数。

当x∈(0, π)时，显然有a-bx

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