希爾伯特
歐幾里得的《幾何原本》對於人類文明的最大貢獻在於用演繹方法構建了一個公理化體系，使得人們對數學的認識可以從經驗上升到理性，從具體上升到一般。歐幾里得幾何已經對現實世界的經驗進行了高度抽象，但在本質上仍然是建立在經驗直覺之上的。歐幾里得以後，幾何公理化體系的集大成者是19世紀最偉大的數學家之一的德國數學家希爾伯特。
希爾伯特 幾何基礎
希爾伯特在《幾何基礎》中構建了一個形式化的幾何公理體系，在這個公理體系中，我們能夠體會出“形式化”的含義：不管我們討論的對象的實質是什麼，只要從已經定義了的，用符號表示的對象出發，依據所確定的幾組公理以及認定的邏輯法則推導出的結論就一定是正確的，這就是理想中的，脫離了經驗的數學。
因此，就形式化公理體系而言，數學的第二步抽象就是對象表達的符號化和論證過程的形式化。從基本概念和論證的出發點以及公理體系的特徵這三個方面分析希爾伯特《幾何基礎》，我們可以很好地體會圖形和圖形關係的第二步抽象的精髓。數學的第二步抽象是必要的，卻不是萬能的，一個體系內的命題的正確與否的最終判斷，並非完全是形式化公理體系內部的事情，仍然需要藉助客觀世界。
兩千多年的時間裡，人們不斷地發現歐幾里得幾何的定理能夠與客觀事實如此完美地保持一致，以至於使人們確信幾何地定理就是真理。這樣，《原理》就成為嚴格證明的典範，成為科學論證的樣板。但是，雖然歐幾里得幾何已經對於現實世界的經驗進行了高度抽象，但在本質上仍然是建立在經驗直覺之上的，比如定義“點是沒有部分的”，比如公理“彼此能重合的東西是全等的”等等，我們仍然能夠感覺到定義或者公理的現實存在性。因此，正如我們曾經談到的那樣，歐幾里得幾何只實現了第一步的抽象，這種抽象並沒有完全捨棄物理背景。特別是非歐幾何的出現，使人們開始懷疑最初的經驗直覺的可靠性，開始思考應當如何確定數學研究的基礎，從而構建一個不受物理背景制約的數學。
從歐幾里得幾何那裡我們可以體會到，在本質上，幾何研究的基礎包括兩方面，一方面是基本概念，一方面是論證的出發點。基本概念包括幾何研究的對象，以及敘述這些對象之間關係的術語；論證的出發點包括一些最初的命題，比如公理和公設。因此，幾何要進一步擺脫對於經驗的依賴，就必須從這些基礎開始。
德國數學家帕斯（1843-1930）已經明確地認識到這些，並且開始了有意義地嘗試。帕斯意識到，歐幾里得在本質上並沒有給出幾何所要研究對象的定義，“點是沒有部分的”這不能稱其為定義，特別是其中的術語“部分”的理解將變得比定義本身的理解更為困難。因此，他認為有一些概念必須是不定義，否則，定義的過程將會無窮無盡。關於論證的出發點，他認為公理不應當是不證自明的真理，而是用以產生一門特殊的幾何的一些假設。他在1882年出版的《新幾何講義》中談出了自己的想法：
“如何幾何學要成為一門真正演繹的科學，那麼必不可少的是：作出推論的方式既要與幾何概念的意義無關，又要與圖形無關；需要考慮的全部東西只是命題和定義所斷言的幾何概念之間的聯繫”
意大利數學家，邏輯學家皮亞諾（1858-1932）和他的學生們也強調一些基本的研究對象應當是不定義的，於是他們將其用符號表示，並且給出了基於符號的公理集合，這些寫在他於1889年出版的著作《幾何原理》中。
哥廷根大學之城
但是，自歐幾里得以來，幾何公理化體系的集大成者是19世紀最偉大的數學家之一的德國數學家希爾伯特（1862-1943）。與高斯一樣，希爾伯特也是哥廷根大學的教授，但比高斯整整晚100年，在這裡我們能體會到哥廷根大學學術傳統之深遠。希爾伯特於1899年出版了他的著作《幾何基礎》，之後多次修改，每一版都更加清晰和完全，最後一版是1930年的第七版。這部著作共七章，而體現公理化體系的主要在前兩章：第一章為“五組公理”；第二章為“公理的相容性和互相獨立性”。
下面，我們就幾何的研究基礎，即基本概念和論證的出發點，以及公理體系的特徵這三個方面嘗試地分析希爾伯特的這本著作，從中體會圖形和圖形關係的第二步抽象的精髓所在。
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