隨機性是一個我們熟悉的概念，但是，給這樣一個我們熟知的概念下正式的定義卻又出奇的困難。我們認為，隨機過程是一種
以無法預測的方式隨時間的推移而發展的過程。從煙囪中冒出的煙霧就是一個很好的例子。雖然沒有任何可以準確預測煙流形狀的辦法，但我們可以用數學語言——概率論——對隨機性加以描述，從而預測出煙流更可能會形成怎樣的形狀。煙霧的形成就是一個固有的隨機過程的例子，且有證據表明自然在最基礎的層面上就是隨機的。描述著微觀尺度的物理行為的量子力學認為，在基礎層面上，自然是隨機的。這與19世紀的那些物理學定律非常不 同，比如牛頓運動定律。牛頓的物理定律是決定性的：假如你是在每個特定的時刻都能精確地描述出世界上所有的事物的上帝，那麼你就具備了預測整個未來的能力。
但根據量子力學，情況可並非如此。試想你有一個分束器（一種將光束分成兩束的裝置）；一半的光線能穿過分束器的表面，另一半的光線則從表面反射回來。那麼如果向分束器發送一個單光子 光束又會發生什麼呢？答案是我們無法確定。即使你無所不知，瞭解與光子和這一實驗有關的所有內容，也無法預測光子的路徑。唯一可以說的是，光子有1/2的概率被反射，1/2的概率繼續直線傳播。
分束器。| 圖片來源：Wikipedia
【信息不足】
大多數我們用到概率論的時候，不是為了處理一個基本的隨機過程。相反，通常是因為我們不具備預測過程結果所需的全部信息。因此從某種意義上來說，我們只能靠猜，猜測結果會是什麼、以及不同結果的發生概率有多大。我們作出這些“猜測”、或對其進行解讀的方式取決於我們採納的是概率概念中的哪種詮釋。
第一種詮釋是主觀的——它將概率理解為在事件發生前，對某一特定結果出現的可能性的一種猜測。這種解釋被稱為貝葉斯定理，是以英國統計學家托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes）命名的，他根據已擁有的證據提出了一種計算概率的方法。
貝葉斯定理特別的地方在於，它讓我們根據最新的證據，不斷更新我們對於產生某一結果的可能性的信念。其中一個例子就是，在選舉過程中，不同候選人在未來贏得選舉的百分比概率的變化。之前人們普遍認為，希拉里·克林頓會贏得2016年的美國總統大選：民意測驗剛開始時，統計估算出她的獲勝概率為85％。隨著關於民意調查信息的不斷公開，這一信念（概率）在被不斷地更新，直到最後變為0％，明確地標誌著她的失敗。
貝葉斯定理。
另一種對概率的詮釋是客觀的——即我們對一個相同的實驗進行多次重複的實驗，並記錄結果的發生頻率。這個頻率被認為是該結果發生的概率，被稱為概率的頻率論解釋。
統計學家經常爭論兩者孰是孰非：支持第一種解釋的人（貝葉斯定理）和那些支持頻率論的人究竟誰才是對的。（例如，如何用頻率論來解讀希拉里贏得選舉的概率？她根本無法重複參與選舉啊！）
不可知論的統計學
作為數學家，我們試圖置身於這些爭論之外。我們有幸能將這些問題拋到一邊，而只關心數學上的隨機理論——這是個很好的理論！從數學角度來看，它絕不存在任何爭議，並且我們有一個關於如何使用概率的確切理論。
骰子。
例如，假設我有一個六面的骰子，並假設這個骰子是公平隨機的，那麼我們可以說投擲出任何特定數字的概率都是1/6。如果我想扔出的數為偶數，即2、4、6，那麼就可以將這三個結果的概率加在一起，因為它們的存在是相互排它的：
P（偶數）= P（2或4或6）= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2。
假如我們有兩個骰子，想要算出扔出兩個6的概率，那麼我們就可以將個體結果的概率相乘，因為這兩個結果是各自獨立的：
P（兩個6）= P（6和6）= 1/6×1/6 = 1/36。
無論你遵從哪一種統計學，描述概率的數學都是完全明確的。但是，在理解概率時，我們需要考慮兩個重要的概念——即對稱性和普遍性。這兩個概念將在下一期文章中著重探討。
翻譯：佐佑
原文鏈接：https://plus.maths.org/content/maths-randomness；本文整理自Martin Hairer教授於2017年9月在海德堡桂冠論壇（HLF）的演講。
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