03.05 橢圓中的蝴蝶定理是什麼?

reedaijin


蝴蝶定理起源於圓,並可推廣至圓錐曲線(橢圓、雙曲線和拋物線),橢圓中的蝴蝶定理是高考中最常見的情況,對綜合分析能力要求甚高。

一·何謂蝴蝶定理:

1815年,英國倫敦出版社,著名的數學科普刊物《男士日記》上刊登了如下的命題:



以上問題的圖形,像一隻翩翩起舞的蝴蝶,這正是該命題被稱之為“蝴蝶定理”的原因。

由於蝴蝶定理意境優美,結論簡潔,內涵豐富,兩百多年來引無數數學家為之流連忘返,浮想聯翩。

時至今日,人們不僅發現了蝴蝶定理的六十多種證明方法,而且還給出了定理的各種變形與推廣。

二·蝴蝶定理的證明:



蝴蝶定理的證明方法非常之多,但利用曲線系方程來證明蝴蝶定理乾淨簡潔,內涵豐富。

另外,如果將圓的方程換成圓錐曲線(橢圓、雙曲線或拋物線)的方程,則得到對應這些曲線中的蝴蝶定理。

三·蝴蝶定理的推廣:



對蝴蝶定理的探索與研究至今仍然沒有結束,由人稱它為歐氏平面幾何裡的一顆璀璨明珠。

四·典型高考題示例:

蝴蝶定理在高考數學中曾多次出現,下面僅舉一例進行說明:



蝴蝶定理,butterfly thearem,古典歐氏幾何最精彩的結果之一。1815年首次被一個自學成才的中學教師W·霍納以初等方式證明。足可見,高等的東西用初等方法解決未必完全不可能。


以上,祝你好運。


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