大题专项
解析几何综合问题
1.已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率;
(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由.
2.已知椭圆C:=1过A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率;
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.
3.(2017全国Ⅰ,文20)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
4 .已知抛物线C:y2=2px(p>0),过焦点且斜率为1的直线m交抛物线C于A,B两点,以线段AB为直径的圆在y轴上截得的弦长为2.
(1)求抛物线C的方程.
(2)过点P(0,2)的直线l交抛物线C于F,G两点,交x轴于点D,设=λ1=λ2,试问λ1+λ2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
5.已知椭圆C:=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆C上一点,若过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T,满足=t(O为坐标原点),求实数t的取值范围.
6.已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.
(1)求C2的方程;
(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且同向.
①若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;
②设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.
答案
题型练7 大题专项(五)
解析几何综合问题
1.解 (1)椭圆C的标准方程为+y2=1.
所以a=,b=1,c=.
所以椭圆C的离心率e=.
(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴,
所以可设A(1,y1),B(1,-y1).
直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2).
令x=3,得M(3,2-y1).
所以直线BM的斜率kBM==1.
(3)直线BM与直线DE平行.证明如下:
当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知kBM=1.
又因为直线DE的斜率kDE==1,
所以BM∥DE.
当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠1).
设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y-1=(x-2).
令x=3,得点M.
由得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.
所以x1+x2=,x1x2=,
直线BM的斜率kBM=.
因为kBM-1=
=
==0.
所以kBM=1=kDE,所以BM∥DE.
综上可知,直线BM与直线DE平行.
2.解 (1)由题意,得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.又c=,所以离心率e=.
(2)设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则+4=4.
又A(2,0),B(0,1),
所以直线PA的方程为y=(x-2).
令x=0,得yM=-,从而|BM|=1-yM=1+.直线PB的方程为y=x+1.
令y=0,得xN=-,
从而|AN|=2-xN=2+.
所以四边形ABNM的面积
S=|AN|·|BM|
=
=
==2.
从而四边形ABNM的面积为定值.
3.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k==1.
(2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),
由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,
即m>-1时,x1,2=2±2.
从而|AB|=|x1-x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),
解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7.
4.解 (1)由已知:直线m的方程为y=x-,代入y2=2px,得x2-3px+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p且线段AB的中点为,
由已知()2+=(2p)2,
解得p=2或p=-2(舍去),
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设直线l:y=kx+2(k≠0),则D,
联立得k2x2+4(k-1)x+4=0.
由Δ>0得k<.>
则x3+x4=,x3x4=.
=λ1⇒(x3,y3-2)=λ1,
=λ2⇒(x4,y4-2)=λ2,
所以λ1==-,λ2=-.
则λ1+λ2=-
=-.
将x3+x4=,x3x4=代入上式得λ1+λ2=-1.
即λ1+λ2为定值-1.
5.解 (1)由题意,以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x-c)2+y2=a2,
∴圆心到直线x+y+1=0的距离d==a.(*)
∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
∴b=c,a=b=c,代入(*)式得b=c=1,
∴a=b=,
故所求椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l方程为y=k(x-2),设P(x0,y0),
将直线方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,
∴Δ=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)=-16k2+8>0,
∴k2<.>
设S(x1,y1),T(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.由=t,
当t=0时,直线l为x轴,点P在椭圆上适合题意;
当t≠0时,得
∴x0=,y0=.
将上式代入椭圆方程,得=1,整理,得t2=.
由k2
综上可得t∈(-2,2).
6.解 (1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).
因为F也是椭圆C2的一个焦点,
所以a2-b2=1.①
又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以=1.②
联立①②得a2=9,b2=8.故C2的方程为=1.
(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).
①因同向,且|AC|=|BD|,
所以,从而x3-x1=x4-x2,
即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③
设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.
由得x2-4kx-4=0.
而x1,x2是这个方程的两根,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④
由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.
而x3,x4是这个方程的两根,
所以x3+x4=-,x3x4=-.⑤
将④⑤代入③,得16(k2+1)=,即16(k2+1)=,
所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.
②证明:由x2=4y得y'=,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=.
令y=0得x=,即M,
所以.而=(x1,y1-1),于是-y1+1=+1>0,
因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.
故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.
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