【分析方法導引】
當幾何問題中，出現了角平分線和向角平分線所作的垂線的時候，就要想到可應用等腰三角形中重要線段的基本圖形進行證明。
若角平分線的垂線沒有過角的頂點時，可直接將角平分線的垂線延長到與角的兩邊相交，構成等腰三角形中重要線段的基本圖形，然後再應用一次軸對稱型全等三角形來完成分析。
若角平分線的垂線經過角的頂點時，則應將角平分線的垂線平行移動，使它離開角的頂點，然後再與角的兩邊相交構成等腰三角形中的重要線段的基本圖形。
例1 如圖3-112，已知：△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是角平分線，CE⊥BD垂足是E，求證：BD=2CE。
圖3-112
分析：本題的條件中出現了BD是角平分線和CE⊥BD，就構成了角平分線和向角平分線所作的垂線之間的組合關係，所以必定構成一個等腰三角形的基本圖形。由於這個等腰三角形是由角平分線的垂線和角的兩邊相交得到的，而現在這條角平分線的垂線CE還僅僅是和角的一邊BC相交，所以應將它延長到和另一邊BA也相交，於是延長CE交BA的延長線於F（如圖3-113），即可得△BFE≌△BCE，FE=CE。而問題要證明的結論是BD=2CE，而現在已經的得到的是FC=2CE，所以問題就成為要證明BD=CF。
圖3-113
由於現在這兩條要證明相等的線段BD和CF可以分別看作是Rt△BDA和Rt△CFA的斜邊，且已知這兩個三角形必定全等（如圖3-114）。當然在證明這兩個三角形全等時，BD=CF這一性質是不能用的，所以還要另外證明一個性質。由於條件給出了∠BEA=90°，所以∠DBA+∠F=90°，同樣的道理由∠CAF=90°，可得∠FCA+∠F=90°，從而可推得∠DBA=∠FCA，這兩個三角形全等就可以證明，分析就完成。
圖3-114
例2 如圖3-115，已知：△ABC中，BD、CE是角平分線，AF⊥CE、AG⊥BD，垂足分別是F、G。求證：（1）FG∥BC （2）FG=1/2（AB+AC-BC）
圖3-115
分析：本題條件中出現了兩條角平分線和兩條角平分線的垂線，所以它們就構成了角平分線和向角平分線所作的垂線之間的組合關係，也就必定得到一個等腰三角形的基本圖形。找這個等腰三角形的方法就是將角平分線的垂線延長到和角的兩邊相交。
如果我們先討論角平分線BD和BD的垂線AG，那麼延長AG交BC於H後，就可得∠BAH=∠BHA，BA=BH和AG=HG。根據同樣的道理，延長AF交BC於K後，可得AC=KC，AF=KF（如圖3-116）。
圖3-116
現在由G是AH的中點和F是AK的中點，就出現了兩個中點，是多箇中點問題，就可以應用三角形中位線的基本圖形進行證明。由於已知中點F、G所在的線段AK、AH有公共端點A，可以組成△AKH，所以FG這兩個中點的連續就是這個三角形的中位線，所以就可得FG∥KH，FG=1/2KH。由此即可證明FG∥BC。對於第二個結論可與上述等量關係進行比較，可知問題就是要證AB+AC-BC=KH，由於AB+AC-BC=BH+CK-BC=BH+（KH+CH）-BC=（BH+CH）+KH-BC=KH，所以分析就可以完成。
對於這個問題的第一個結論，由於這是兩條平行線的判定問題，從而可以應用平行線的基本圖形的性質進行證明。由FG、BC被BD（或CE）所截，問題就可證∠1=∠2（如圖3-117）。
圖3-117
若設BD、CE的交點為I，則由條件∠AFI=∠AGI=90°，可得A、F、I、G四點共圓，於是就可應用圓周角的基本圖形的性質進行證明，所以聯結AI（如圖3-118）即可得∠1=∠3，這樣問題就轉化成為要證明∠2=∠3。
圖3-118
由條件BD、CE是角平分線，所以I是△ABC的內心，AI就成為∠BAC的角平分線，∠3就成為∠BAI也就是1/2∠A的一部分，而∠2又是1/2∠B，所以想到要應用三角形的三個內角的半角關係來進行分析。於是就有∠2+（∠3+∠4）+∠5=1/2∠B+1/2∠A+1/2∠C=90°，從而應證明的結論∠2=∠3就可以轉化為要證明2∠2+∠4+∠5=90°。而由條件AF⊥CE，所以∠4+∠AEF=90°，比較這兩個關係，可得問題成為要證2∠2+∠5=∠AEF。由於A、E、B成一直線，∠AEF可以看成是△BEC的一個外角，所以應用三角形外角定理即可證明∠AEF=∠EBC+∠ECB=2∠2+∠5，分析就可以完成。
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