【分析方法導引】
當幾何問題中出現角平分線和平行線的組合關係式，就可以想到要應用等腰三角形的基本圖形進行證明。然後就應用將角的邊的平行線與角平分線及角的另一邊相交或將角平分線的平行線與角的一邊及另一邊的反向延長線相交的方法找到等腰三角形的基本圖形。再應用角平分線、平行線、等腰三角形中任何兩個性質成立就可以推得第三個性質成立的方法來完成分析。
例7 如圖3-24，已知△ABC中，∠B、∠C的角平分線相交於I，過I作BC的平行線分別交AB、AC與D、E。求證：DE=BD+CE。
圖3-24
分析：本題條件中出現了BI、CI分別是∠ B、∠ C的角平分線，且DE∥BC，是一個角平分線和平行線的組合問題，所以必定出現一個等腰三角形的基本圖形（如圖3-25）。由於DE∥BC，出現的是角的一條邊的平行線，所以它必定要和角的另一邊以及角平分線相交構成等腰三角形，於是就可找到這個等腰三角形應是△DBI，那就可以由DE∥BC，且被BI所截得到∠IBC=∠BID，而由條件∠DBI=∠IBC，所以就可推得∠DBI=∠BID，DB=DI，根據同樣的道理還可得EC=EI，所以結論就可以證明。
圖3-25
例8 如圖3-26，已知：在△ABC，∠B的角平分線與∠C的外角平分線相交於M，過M做BC的平行線分別交AB、AC於E、F。求證EF=BE-CF。
圖3-26
分析：本題條件中出現∠B的角平分線BM和∠C的外角平分線CM，同時還出現EM∥BC，所以是一個角平分線和平行線的組合問題，從而就可以應用等腰三角形的基本圖形進行證明。由於EM∥BC是角的一條邊的平行線，所以它應與角的另一邊以及角平分線相交組成等腰三角形，於是根據CM是∠C的外角平分線就可以找到這個等腰三角形應是△FCM（如圖3-27）。那就可以根據FM∥CD，且被CM所截得到∠FMC=∠DCM。而由條件∠DCM=∠FCM，就可推得∠FMC=∠FCM，FC=FM。根據同樣的道理還可推得EB=EM。而EF=EM-FM，所以結論就可以證明。
圖3-27
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