《最後的數學問題》
內容簡介
數學是人類的發明還是發現？數學無處不在、無所不能的威力從何而來？本書講述了數學概念的演化過程，從哲學、歷史、文化角度探討了數學的本質，揭示了數學與物質世界、與人類思維之間的微妙關係，討論了困惑幾代思想家的重大問題，講述了數學、哲學和物理學巨匠們的生活經歷與思想，是一本有趣的數學思想史著作。
馬里奧·利維奧（Mario Livio ），哈勃太空望遠鏡科學研究所的天體物理學家，科學和數學科普作家，美國科學促進協會會員，卡內基基金會“世紀優秀教授”，皮亞諾獎和國際畢達哥拉斯數學暢銷書獎得主。其眾多數學和天體物理學領域的文章在《自然》《經濟學人》《科學》等權威期刊上得到極高評價。
書籍摘錄
第 1 章 未解之謎（節選）
幾年前，我在美國康奈爾大學做過一個演講。當時，我的一張幻燈片的標題是：“上帝是數學家嗎？”當這張幻燈片放出來時，我聽到坐在前排的一位學生倒吸了一口涼氣，說：“哦，天啊，我希望不是如此。”
我之所以提出這個問題，既不是因為我打算從哲學上定義上帝，也不是因為我有意嚇唬那些害怕數學的人。我只是想向聽眾介紹一個讓眾多最富創新的大腦苦苦思索了幾個世紀的謎團——數學“無所不在、無所不能”的力量，而這類特徵通常只有在人們描述一位神明時才會用到。正如英國物理學家詹姆斯·金斯（James Jeans，1877—1946）所說：“宇宙看上去是由一位理論數學家設計的。”數學貌似不僅在描述和解釋整個宇宙時太過有效，甚至在描述和解釋一些最混沌的人類活動時也是如此。
不論是物理學家試圖構造種種關於宇宙的理論，證券分析師絞盡腦汁預測下一次股價暴跌的時間，神經生物學家嘗試為腦功能建模，還是軍事情報統計師力圖優化資源配置，他們都要使用數學。此外，儘管他們應用的可能是從不同數學分支發展出來的形式體系，但他們仍然仰賴的是同一個完整、內在一致的數學。那麼，是什麼賦予了數學如此驚人的威力？或者，正如愛因斯坦曾好奇地發問：“數學，這個獨立於經驗的人類思維的產物，為何能如此完美地符合物理實在中的對象？”
這樣的困惑古已有之。一些古希臘哲學家，特別是畢達哥拉斯和柏拉圖，早就驚歎於數學塑造並支配宇宙的不言而喻的能力，同時意識到，數學的存在貌似無法被人類所改變、引導或影響。英國政治哲學家托馬斯·霍布斯（Thomas Hobbes，1588—1679）也無法掩飾自己的崇敬之情。在討論社會和政府基礎的《利維坦》一書中，他將幾何學作為理性論證的典範：
“既然真理存在於由各種名稱正確排序後所組成的斷言中，那麼追求嚴謹真理的人就需要記住他所使用的每個名稱的含義，並把它們放於相應的地方，否則他會發現自己困於文字的糾纏中，就好像一隻被抹了膠的樹枝粘住的小鳥，越掙扎越不能自拔。因此，在幾何學（這是迄今為止唯一令上帝滿意並恩賜給人類的學問）中，人們首先確定名稱的含義（他們把確定含義稱為‘定義’），並把它們作為認知的起點。”
上千年來，令人印象深刻的數學研究和廣博的哲學思考都沒有真正解釋清楚數學力量的奧秘，甚至可以說，在某種意義上，數學的這種神秘感又加劇了。比如，著名的英國牛津大學數學物理學家羅傑·彭羅斯（Roger Penrose）意識到，人類周圍不僅有一個世界，而應該有三個神秘世界。按彭羅斯的劃分，這三個世界是：意識感知的世界、物理現實的世界和數學形式的柏拉圖世界。第一個世界是我們所有精神影像的家園，包括我們看到自己孩子笑臉時的歡欣愉悅，欣賞落日餘暉壯美景色時的心曠神怡，或者觀察怵目驚心的戰爭場面時的恐懼和憎惡。在這個世界中還包括愛、忌妒、偏見、害怕，以及我們欣賞音樂、聞到美食時的感覺。第二個世界就是我們日常所提到的物理現實世界，包括鮮花、阿司匹林藥片、白雲、噴氣式飛機，還有星系、行星、原子、狒狒的心臟和人類的大腦，這些真實存在的東西構成了這個世界。第三個世界是數學形式的柏拉圖世界。這裡是數學的家園，對彭羅斯而言，這個世界和精神世界與物理世界一樣，也是真實存在的，在其中有自然數 1, 2, 3, 4,…，歐幾里得幾何學中的所有圖形和定理，牛頓運動定律、弦論、突變論以及研究股票市場行為的數學模型等。彭羅斯還觀察到了這三個世界之間神秘相連的三種現象。首先，物理世界的運行似乎遵循著一定的法則，而這些法則真實存在於數學世界中。這也令愛因斯坦感到困惑。諾貝爾物理學獎得主尤金·維格納（Eugene Wigner，1902—1995）也有同樣的疑惑：
“數學語言適於表達物理法則，這種奇蹟是上天賜予我們的絕妙禮物。事實上，我們並未真正理解這份禮物，同時也受之有愧。我們應當感謝這份禮物，希望它在未來的研究中仍然有效，而且可以給予我們歡樂，抑或困惑——無論是好還是壞——以及廣泛的學問。”
其次，人類感知心智（perceiving mind）本身——這是我們主觀認知能力的源泉——似乎來自物理世界。心智究竟是如何從物質中產生的？我們是否能夠將人類意識的工作機制上升為一種理論，令其如同今天的電磁場理論那樣條理清晰、令人信服？最後，這三個世界神秘地聯到一起，形成了一個閉合的圓。通過發現或創造抽象的數學公式和概念，並將它們清晰地表達出來，感知心智才得以奇蹟般地進入數學王國之中。
彭羅斯並未給出任何關於這三個世界神秘現象的解釋。實際上，他的結論非常簡潔：“毫無疑問，並不真正存在三個世界，而是隻有一個世界。並且直到目前為止，對於這個真實世界的本質，我們對它的認識甚至連膚淺也談不上。”英國作家艾倫·貝內特（Alan Bennett）創作的戲劇《四十年來》（Forty Years On）中的那位教師也回答過類似的問題，與之相比，彭羅斯的回答可謂謙遜而坦白。下面就是那位教師的回答。
福斯特：先生，我對（聖父、聖靈、聖子）三位一體的說法仍然有點困惑。
教師：三合為一，一分為三，簡單明瞭。對此有任何疑問，就去請教你的數學老師。
這個謎題甚至比我剛才提到的那個問題更錯綜複雜。利用數學成功解釋我們周圍的世界（維格納稱之為“數學無理由的有效性”），實際上可以從兩個方面去認識，它們都同樣令人驚奇。第一，是其“主動”的一面。當物理學家在自然的迷宮裡迷失方向時，數學會為他們照亮前方的道路，他們使用和創造的工具、建立的模型，以及他們所期望得到的解釋，所有這些都離不開數學。顯然，這本身就是一個奇蹟。牛頓觀察到了落地的蘋果、月亮和海灘上的潮汐（我不是很確信他是否真正看見了），不過他所看到的可都不是數學方程式。但是牛頓卻從這些自然現象中抽象並總結出了清晰、簡潔、精準的數學規律。同樣，蘇格蘭物理學家詹姆斯·克拉克·麥克斯韋（James Clerk Maxwell，1831—1879）在 19 世紀 60 年代拓展了經典物理學範疇。他僅僅使用 4 個數學公式，就解釋了所有已知的電磁學現象。可以想象，電磁學和光學實驗通常充斥著大量細節性信息，數據量十分巨大，以前都需要用大量篇幅才能歸納和解釋所有這些現象和結論，但現在只需要 4 個簡潔的方程式就夠了！愛因斯坦的廣義相對論更令人驚歎，它是數學理論中極度精確與自相一致的一個完美範例，這個理論揭示的正是如時空結構一類的基礎事物。
除了“主動”的一面之外，數學的神秘效應還包括“被動”的一面，讓人意想不到的是，後者甚至會令前者黯然失色。當數學家研究、探索數學概念以及各種概念之間的關係時，有時僅僅出於理論研究的目的，絕對沒有考慮過理論的實用性問題。但是在幾十年後（有時甚至是幾百年後），人們突然發現，他們的理論出人意料地為物理現實問題提供瞭解決方案。你可能要問，這怎麼可能呢？那位行為古怪的英國數學家戈弗雷·哈羅德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877—1947）的例子就十分有趣。哈代為他的純理論數學研究感到非常自豪，他曾斷言：“我的發現今天沒有、將來也不會給世界帶來絲毫影響——無論這種影響是直接還是間接的，有益抑或有害的。”猜猜結果如何？他錯了！他的一項研究成果被命名為“哈代 – 溫伯格定律”，這是以哈代和德國物理學家威廉·溫伯格（Wilhelm Weinberg，1862—1937）的名字命名的，該定律是遺傳學家研究人口進化的基礎。簡單地說，哈代 – 溫伯格定律認為：如果一個基數很大的人口群體隨機婚配（沒有人口遷移、基因突變和選擇性婚配），基因構成將保持恆定，而且不因世代變化而變化。表面上，哈代研究的是抽象的數論——一門研究自然數的學科，但人們出乎意料地發現其研究成果能解決現實問題。1973 年，英國數學家克利福德·柯克斯（Clifford Cocks）利用數論在密碼學領域取得了突破性進展。柯克斯的研究成果再次證明了哈代的言論已經過時。哈代在其 1940 年出版的那本著名的著作《一個數學家的辯白》中聲稱：“還沒有人發現數論能被用於戰爭目的。”很明顯，他又錯了！在現代軍事信息傳遞中，密碼學絕對不可或缺。因此，儘管哈代是最有名的實用數學批判論者，可是最終還是被“拽去”研究具有實用價值的數學理論了——如果他還在世的話，一定會對此高聲抱怨。
這只是冰山一角。開普勒和牛頓發現了太陽系行星運行軌道是橢圓形的，而古希臘數學家門奈赫莫斯（Menaechmus）在兩千年前，即大約公元前 350 年就已經研究過這條曲線了。波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826—1866）在 1854 年的一次經典演講中概括了幾門新興幾何學的主要內容，它們恰好是愛因斯坦解釋宇宙結構時所必需的工具。還有一門叫作“群論”的數學“語言”，它是由年輕的數學天才伽羅瓦（Evariste Galois，1811—1832）創建的。起初，群論僅僅用來判別代數方程式的可解性，但今天，它已經被物理學家、工程師、語言學家甚至人類生態學家們廣泛使用，用來研究幾乎所有的對稱性問題。此外，數學上的對稱概念在某種程度上還顛覆了整個科學的研究過程。幾個世紀以來，科學家認識宇宙的第一步都是在反覆實驗和試錯後，收集彙總數據和結果，再從其中歸納出通用的自然規律。這種梳理過程從局部觀察開始，之後像拼圖一樣，觀察結果被一塊塊地拼接起來。進入 20 世紀後，人們認識到條理清晰的數學設計並描述了亞原子世界的基礎結構，於是，當代物理學家們開始反其道而行之。他們把數學的對稱性置於第一位，堅持認為自然法則和構成事物的基本要素應當遵循某種特定模式，並根據這種要求，推演出通用規律。自然界是如何知道應當遵循數學上的對稱原理呢？
在 1975 年的某天，年輕的數學物理學家米奇·費根鮑姆（Mitchell Feigenbaum）在美國洛斯阿拉莫斯國家實驗室利用他的 HP - 65 便攜式計算器演算一個簡單的方程式。他漸漸注意到，計算器上的數越來越接近一個特定的數：4.669...。他驚奇地發現，在演算其他方程式時，這個神奇的數再次出現了。費根鮑姆雖然還不能解釋其中的原因，但他很快就得出結論，自己發現的這個數似乎標誌著從有序到混沌過渡時的某種普遍性規律。你大可不必對此感到驚訝，物理學家們在一開始時都是懷疑論者。究竟是什麼原因導致那些看起來差異極大的系統行為背後擁有相同的數學特徵呢？專家經過半年的評審，還是將費根鮑姆就此專題撰寫的第一篇論文退稿了。不久之後，實驗證明當液態氦從底部開始加熱時，其變化過程同費根鮑姆的通用解決方案的預測結果恰好一樣。人們發現不僅這一種體系會如此表現。費根鮑姆發現的這一令人驚訝的數不但出現在流體從有序流向紊亂的轉換過程中，也會出現在水龍頭滴水的過程中。
爾後人們才證實了，很多學科研究都需要數學的“預言”，這樣的情況仍在不斷上演。數學世界和真實（物理）世界之間那種神秘的、意想不到的相互影響，在紐結理論（這是一門研究繩結的學科）中得到了生動體現。數學上的“紐結”與現實中繩索上的結十分類似，只不過，這根繩索的頭與尾必須連接在一起。也就是說，數學上的紐結位於一條閉合的、沒有自由活動繩端的曲線之上。說來奇怪，創建紐結理論的主要起因是 19 世紀發展起來的一種錯誤的原子結構模型。這個模型在提出 20 年後就被證明是錯誤的了，但是，紐結理論作為一門相對難以理解的理論數學分支，卻在不斷髮展演化。出人意料的是，數學家在紐結理論領域所做的抽象探索，突然間在現代科學研究中有了十分廣泛的應用。其應用範圍涵蓋脫氧核糖核酸（DNA）分子結構、弦論（弦論試圖將亞原子世界和引力統一起來），等等。我們將在第 8 章詳細討論這個不同尋常的故事，因為這段“循環”的歷史也許是一個最好的例證，充分說明了數學各分支如何在人類試圖解釋物理現象的過程中產生，隨後如何進入數學的抽象王國，並在其中發展，最終又如何出人意料地回到了物理世界的起點。
我上面講述的這些簡短的故事已經充分證明，我們所處的世界受數學支配——至少認識、分析世界的過程深受數學的影響。正如本書將要展現的，大多數（也許是全部）人類活動似乎源於數學，對此，人類自己甚至根本沒有意識到。
正如我在本章開始時介紹的，數學無理由的有效性產生了許多有趣的問題：數學是一種完全獨立於人類心智的存在嗎？換句話說，我們是否只是發現了本已存在的數學真理，恰如天文學家發現先前未被人類觀察到的星系那樣？如若不是，難道數學僅是人類的一項發明？如果數學真實存在於某個抽象世界之中，那麼這個神秘的世界與物理現實世界之間是什麼關係？僅掌握有限知識的人類如何才能超越時空的限制，進入這個永恆不變的神秘殿堂？另一方面，假如數學僅是人類的發明，並且只存在於人類心智中，那麼我們又如何解釋，自己“發明”出來的如此之多的數學真理，為何會如神蹟一般地準確預言了幾十年甚至幾百年之後才出現的宇宙和人類生活中的某些問題呢？這些問題並不簡單。正如我在書中反覆講到的，即使在今天，數學家、認知學家和哲學家對此還存在分歧。
如果你認為弄清數學究竟是一種“發現”還是一種“發明”無關緊要，那麼請想想這兩個詞之間的差異在下面這個問題裡的深長意味：“上帝是一種發現還是一種發明？”或者另一個更刺激的問題：“上帝是按自己的模樣創造了人，還是人類按自己的形象創造了上帝？”
在本書中，我將和大家一起探尋這一問題和其他問題的答案。我們將回顧歷史上以及當今最偉大的數學家、物理學家、哲學家、認知學家和語言學家在各自領域中做出的卓越貢獻，以及在其研究過程中體現出的遠見卓識。書中還要回顧一些近代思想家們的觀點、警句和他們對相關問題持有的保留意見。讓我們先以早期哲學家們的某些開創性觀點為起點，開始這段激動人心的旅程吧。
題圖為電影《天才少女》劇照，來自：豆瓣
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