大家好我是你們雨桐學姐，此篇文章是想送給在高中的學弟學妹 ，希望能在能幫助到即將面臨高考的你們 （片尾有彩蛋）
其實起筆寫這篇文章的時候，我有些猶豫。
我以前真的是一個數學很糟糕的人。
初三，數學成績常年徘徊班級後半部分，極度羨慕數學成績很好的同桌。
高一，總排名年級前二十的時候，數學成績年級2000+，還挺不可思議的吧。
高二，文理分科，數學的弱勢讓我心有餘而力不足。
高三，當語文扣分都比數學少的時候，我都開始懷疑自己的腦子長得是不是不太適合學數學。
但是到了高三下，奇蹟就一點點發生了。我考了第一個140，雖然次數僅僅一次，但是還是讓我高興了很久。
大一，專業的微積分用的是數學分析，頭疼過後，居然也能迎頭趕上。
其實總體說來，數學變好，不過也是一年以內的事情。我其實不太自信，我又有什麼資格來談論數學這個古老而嚴密的學科呢？我的經驗，哪有那些數學競賽國獎、高考滿分、在數學世界中游刃有餘的朋友們有力量呢？
但是，我還是得說。因為這些東西實在是太有意義了，這裡有一個精妙絕倫的數學世界，我實在不想讓你們錯過，因而白白錯過了數學思維的旖旎風光。也許我不一個足夠好的講解員，也也許我有些大驚小怪，但是，這些思考方式的曾經確給了我茅塞頓開的感覺。我相信，它也能夠幫助到和我境遇相似的一些朋友，無論是初中、高中還是大學。
記得高三困擾我最深的一個問題就是，那些數學特別好的學霸是怎麼思考的？
感覺他們的大腦就像一個神奇的機器，輸入題目，吐出正確答案。中間發生了什麼？問他們，有時候他們自己也說不清楚自己怎麼想到的。
那段我的大腦裡充斥著幾種思路。
一種對我說，學數學不能做太多題目，你覺得高考會有重複的題目嗎？都是新題，別想著做到原題，刷太多題目，有時候反而會被侷限住！
另一種對我說，學數學就要多做題，反覆做很多遍，做多了能做出“題感”！
還有一種說，分類，分很多類，每種都做幾道，積累在本子上，然後考試的時候更容易想到類似的題目
這些方法，我從高一開始就一直在嘗試，可是最終效果不盡人意。我還是沒有辦法嚐到解題的樂趣和推理的魅力，更重要的是，我無法感覺思維有什麼鍛鍊和成長。
我問了很多同學，也請教過老師，看過許多書，終於，這個中間過程還是讓我發現了。
【基本原理】數學思考的基本原理
拿出任意一道數學題，觀察一下，它有什麼特徵。
已知條件和結論對吧？我們解題的目標，就是要根據已知，得出一個答案或者結論。中間過程，也就是“如何從已知條件得到結論”，是我們需要探索得問題。
中間的發生了什麼？怎麼想到的？
怎麼想到的呢？有時候是腦海裡飄來的靈感，有時候是突然聯想到一道曾經做過的題目，有時候是突然想到一個定理。
有沒有一種普遍的方法，能夠加速我們想到一個思路呢？
這種方法叫做——”探索法”
在做題的每一步，都不斷地發問，好處就是讓你的大腦活躍起來、儘快地想到解決辦法，而不是盯著題目，大腦一片空白。
呈上一個活躍著的、思考數學問題的大腦：
首先，這個大腦開始理解題目。（很多朋友以為，讀題是一個不太需要思考的題目，但是，高手們在這個階段大腦已經預熱起來了，並且開始對題目發問）
未知數是什麼？
已知數據（指已知數、已知圖形和已知事項等的統稱）是什麼？條件是什麼？
滿足條件是否可能？
要確定未知數，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多餘的？或者是矛盾的？
畫張圖或者引入適當的符號。
把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來？
然後，這個大腦開始尋找已知數和未知數的聯繫，並且開始進一步發問，以得到解題的靈感。
通過這一系列的發問和排查，大腦已經對條件進行了充分的解構，對結論進行了充分的聯想，加快了你達到正確答案的速度，也許此時解題已經進展卓越了，就等待大功告成的一瞬。
對我而言，這樣的方法真正教會了我思考：
現在遇到任何一個推理性的問題，我就會問自己：
①觀察未知量——仔細觀察，未知量是什麼？
②觀察已知量——再看，已知量是什麼？
③已知量和未知量怎麼發生聯繫？有時聯想做過題目，有時聯想定理公式，有時分解定義，有時拆分一個個條件，有時更改題設，有時結論反推。（來自於上面那張思維導圖）
這整個過程，有點像讓一個外星人來建造一個房子。
①（未知數）緊盯目標，我要一座房子！
②（已知條件）我有啥東西！
③（聯繫）我怎麼用手頭這些材料建造一個房子出來？
首先思考未知數：房子是啥？我曾經造過房子嗎？沒有啊……我記得小紅、小明曾經建過一個房子，他們是怎麼建的來著？
然後思考已知條件：我有木頭、斧子、釘子，這些東西都是啥啊？我以前用過嗎？
然後尋找聯繫：怎樣從這些材料到建造房子呢？報一個木屋建造培訓班？尋找一些以往建房子的資料模仿一下？回到定義看看是不是房子的定義中就有一些建造的方向？
如果以上還是沒有想出來，沒關係，那就看答案吧。著重關注，答案是怎麼想出這個結論的，
每看一步答案，就要質問一下課本，“這答案每一步怎麼想到的？是不是照著結論硬湊的？”大多數沒想到，有兩個原因，
- 對條件的積累不足，也就是說，你還沒有徹底理解哪些木頭斧子釘子是拿來幹什麼的以及曾經用來幹過什麼，因此你沒有很好地遷移過來；
- 未知量的積累不足，反推建造一個房子需要什麼材料和手續，你完全沒有相應的積累，當然想不出來。
高手呢，他們用無數種材料建造過無數類型的房子，並且這一切深深地刻在他們的腦海裡，無論出現材料還是房子，無論是小洋房、別墅、高樓大廈，他們都能聯想到曾經實施過種種方案，甚至，在這無數種方案中，能找到一條非常新鮮的組合創新方案！
說白了，刷題主要是為了積累案例，積累模型，熟練知識為了以後看到條件或者未知數能夠被觸發。
04 數學縱覽——工具的重要性
承接上面的造房子案例，我們還可以引出另外一個話題，就是數學的材料和工具。
回顧一下從小到大的數學題，其實解決思想都是相似的，只是不同階段使用的材料不太一樣。
【小學·基礎材料】基礎的加減乘除、基礎方程思想、基礎的物理規律（追擊問題等）
【初中·簡單材料】基礎代數（二次方程、反比例函數、因式分解…），基礎幾何（圓、相似性），簡單的解析幾何、基礎概率、簡單的三角函數等
【高中*中級材料】工具（修房子的材料）豐富了許多。更深入的代數（不等式等）、更加深入的幾何（立體幾何等）、難度更高的解析幾何（橢圓、拋物線等）、變換更豐富的三角函數、更深的概率論（排列組合……）以及微積分初步……
【大學·高級材料】極限、連續、導數、積分、級數……特定領域的深入挖掘，更多抽象的概念工具和證明要求。
看到了吧，每一個數學成長階段，你都會面對如此不同的磚頭木塊，紛繁而又有秩。你需要去一一識別，掂起來，感受、理解、使用。
但是一以貫之的，是那種不斷髮問思路、解決困難的決心毅力還有好奇的願望。05
除了幫你解決數學題目，在實際生活中，這種未知聯繫已知的思維能幫你大忙。換句話說，任何推理性的問題——無論是推理小說尋找一個嫌疑人、還是邏輯謎題、燈謎、填字遊戲，又或者是工程搭建、商業戰略，都可以用到這種思維。
【商業思維】
未知量就是戰略目標，已知量就是你手中的資源，如何用資源達到目標，既和經濟學有關，又和數學思維密切相關
【工程問題】
你的思想還是遵循這樣的基本思路，和上面造房子的思路相似。
第一，你的未知量是什麼？一個工程大壩以及相關數據
第二，你有的條件是什麼？（限制條件、有利條件）考慮的因素很多，包括經濟、地質、生物……
第三，你已知的數據是什麼？需要實際測算的數據很多
好的題目和某種蘑菇有點相似之處，它們都成串生長——波利亞
數學思維有點意思吧？
個人認為，最好玩的還不是這個，回到數學
如果我們學會怎麼樣來出一道題，就更能理解數學的思維了。
怎樣來創造一道題呢？
我目前得知了三種基本辦法：①普遍化②特殊化③類比
原題目：已知長方體三個維度abc，求對角線長度。
開始出題——
改變條件：
普遍化：已知從平行六面體對角線一端出發的三條稜長以及三條稜之間的夾角，求此對角線的長度。
特殊化：已知立方體稜長，求它的對角線長
改變未知量：
已知長方體三邊abc，求表面積
已知長方體三邊abc，求體積
已知長方體三邊abc，求內接球體積（動態：一個氣球吹大，從內接到外接）
已知長方體三邊abc，求外接球體積
類比：
已知正八面體稜長，求對角線長。
已知正四面體稜長，求外接球半徑
已知地球表面任意兩點的地理座標，求兩點之間的球面距離
……………………
無窮無盡的題目，一類題很多時候就是答案和結論有密切相關之處。
這樣，你就可以理解一類題是什麼樣的了，還可以像出題老師一樣編題目，舉一反三，觸類旁通，豈不快樂？
如果問我數學的關鍵，我想就是未知和已知。已知的內容填滿人類的圖書館，未知又多如星辰
掌握的工具越多，越有可能提升自己解決問題能力。
就像那個外星人造房子的例子——
學了小學數學，相當於會造小木屋，
學了初中數學，相當於會造一個水泥房
學了高中數學，相當於能造小洋樓
學了高等數學，相當於能造一個大廈
知識雖然不同，但是都關於解密，關於人類的好奇心和探索欲，以及解決困難、改造世界的願望。但非常重要的一點是，這個積累過程會很辛苦的，因為人的大腦本能地排斥抽象的東西，
從數學史可以看出，抽象的數這種東西的出現，本身是一個艱難的過程。原始的我們並不能夠理解數學，古巴比倫、埃及、中國都有過數學的影子，不過基本上與具體經驗密切相關，都是為了解決實際問題（農業測算、天氣判斷等），缺乏推理和抽象。直到古希臘，數學才真正意義上成了一門抽象的科學。因此，我們要理解這些抽象的數學智慧，自然需要耗費時間和精力。
最後，我數學的思想以及上面的很多想法，來源於一本非常有意義但同時有一些枯燥的方法論書——《怎樣解題》這本書流暢已久，作者是斯坦福大學的教授波利亞，如果沒有他，我現在恐怕還在數學苦海里掙扎，向他致敬。如果你處於解謎的困惑中，靜下心來認認真真讀一讀他的書，會有不一樣的收穫。
上大學的時候，瀟灑的數學老師曾經給我們總結過：
1、數學學習，沒有捷徑！
解題就像是游泳，是一樣實踐性的技能。看別人、聽理論、抄寫知識點，都不能讓你真正學會解題。只有你一步一步走過，每一步走得清楚明白，才能真正學會。無疑，很燒腦細胞，尋找線索的時候，你會經歷那種未知世界裡遊走的恐慌，會經歷知識點的遺忘，但是非常有意義。它能讓你對知識點的記憶更加深刻。
2.答案並不是儘量不看。只要思考到實在沒有思路了，看一下答案又有什麼呢？既能積累。不過，越是這種題，越要反覆思考為什麼沒有想到這一點。
3.一定量的習題是必須的，數學需要熟練
還有一點，勤奮 雖然懂得了這個道理，但是效果最好的時候，還是在高三執行力爆表的時候，現在卻有些怠慢懶惰了。
那些數學很棒的人，應當也還有堅韌勤奮、不拖延的品質吧，這些是我需要努力去學習的地方呀。
寫這篇文章，用了兩天，也是想督促一下自己——“道路千萬條，執行第一條！！！”
在文章的最後 我想給大家推薦一節數院博士講解的一節方法課程《逆向學習法》，我看了這節課非常欽佩講師獨到的見解 受益頗深 真心地免費分享給大家
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