2020-02-12 20:23:20 佚名

朝昔往事

这样做其实是可行的，而且事实上，世界上很多地方的人都一直在这么做。美国自上世纪60年代开始，全面推广所谓的AP(Advanced Placement)课程，即大学预科课程，把一些大学的课程放到中学，供那些成绩优秀、学有余力的学生选修。一直发展到今天，AP课程几乎由选修课变成了“必修课”，因为他的考试成绩可以作为申请大学的依据，所以很多人都在学习。而在的这当中，微积分是选修人数最多的课程之一。

也就是说，美国的大部分学生都在中学阶段就开始学微积分了(当然这并不意味着美国的教育制度就是先进的，因为过早地学习高难度课程无异于揠苗助长，会带来很多问题，这个我将在其他文章中讨论)。我来简要梳理一下美国中学的数学课程结构，在10年级，也就是我们的高一年级的时候，他们会学习预备微积分(Precalculus)，相当于把国内高中三年的全部数学内容学完，当然，从难度和深度上是远远小于国内课程的。然后在11年级(我们的高二)时，就开始学习AP微积分(AP Calculus)课程，时间基本上都是一年。到12年级(我们的高三)时选修更高级别的数学课，一般是多元微积分(Multi-Calculus)和线性代数(Linear Algebra)。而美国中学采用的是选修制，学生根据自己能力的不同选修不同的课程，因此对于某些智力特别优秀的同学，在9年纪，也就是我们初三的时候就已经学完了代数2(Algebra 2)，内容相当于高中的数学，进而在10年级的时候开始学习微积分。这样一来就是题目所说的，初中学完了就开始学微积分，各种事情在西方国家是普遍存在的。

但是具体问题还需要具体分析，针对于题主的问题，我想分为下面几个方面来回答：

1.微积分，数学分析这些课程都包括哪些内容？

微积分和数学分析其实算是是同一门课程，二者包含的内容范围基本一致，只不过一个浅一个深。他们都是大学一年级学习数学要学的课程，微积分相对简单，偏重计算，是给非数学专业的学生学习的，也叫高等数学(不过高等数学比微积分还是要多了一点点东西)；数学分析则比较难，偏重原理与证明，是给数学专业的学生学习的。

总体来看，二者包含两大块：单变量微积分与多变量微积分，因此传统的微积分教材都是分为对应的上下两册，上册是单变量部分，下册是多变量部分。单变量微积分应该是整个微积分的核心，多变量微积分只是对单变量微积分的一个高维推广，而没有跳出单变量微积分所设定的基本框架。所以要想学好微积分，单变量微积分是重点。

单变量微积分主要包含五部分内容：极限论，微分论，积分论，微分方程与无穷级数，这些理论的具体内容我们下面再介绍。而多元微积分则是沿袭了这个框架，把它往高维上推广，包括多元函数的极限论，多元函数的偏导数，重积分，以及多元微积分里面特有的曲线积分和曲面积分。

而数学分析，因为侧重于数学原理，还会多出实数理论这一部分内容，深入地探讨了实数的定义及性质。

2.学习微积分需要哪些基础知识？

微积分的研究对象主要是函数，因此关于函数的知识是必须要具备的。具体来说，分为以下两个方面：函数的基本概念，和几个具体类型的基本初等函数。

函数的基本概念主要包括：

函数的定义，表示与图像
函数的性质，包括增减性，奇偶性，周期性
函数的生成，包括函数的四则运算，复合函数与反函数

几个类型的基本初等函数主要有5个

幂函数
指数函数
对数函数
三角函数
反三角函数

我们需要重点掌握这些函数各自的定义，表达式，定义域，运算性质以及最最重要的——函数图像。微积分其实最初就是从研究函数图像开始，通过函数图像的渐近线引入了极限这个概念，因此清楚地记忆、并深刻地理解函数图像是学好微积分的前提。

而微积分中的无穷级数部分与函数的关系不是特别大，与前面积分与微分的关系也不是特别大，可以独立来学习。它所需要的基础知识就是数列，包括以下几个点：

数列的通项公式与递推公式
等差数列及其求和
等比数列极其求和

斐波那契数列与鹦鹉螺

当然，不仅要掌握以上关于数列的知识，还要深刻理解其思想。数列是一个无限延续，永无停止的过程，因此树立了深刻的与“无穷”这个概念联系在一起，而无穷是微积分的思想核心，因此理解数列这个概念的本质，对学习微积分是很有帮助的。

上面是学习微积分核心课程所需要的基础知识，除此之外，微积分里边还有一些较深入的课程，需要以下的基础知识，主要有

参数方程
平面向量与空间向量
极坐标
三维解析几何

不过上述几个知识不用掌握的太深，只需要掌握其基本概念即可。

各式各样的极坐标曲线

这些内容在高中三年都会学到，而且国内还会讲得非常深，如果你已经自学完了高中课程，那么就具备了学习微积分的基础知识，所以就可以往下开始进行微积分的学习了。

3.《微积分和数学分析引论》是一本什么样的书？

《微积分和数学分析引论》于1965年在美国出版，是美国著名数学家理查德·柯朗(Lichard Courant)与弗里茨·约翰(Fritz John)合写的一套全面介绍初等微积分中各个理论的数学名著，内容系统而丰富，论证深刻而严密，并且在某些章节颇有深度，受到微积分学习者的广泛好评

世界图书出版公司出版的英文影印版封面

作者在该书的序言部分中写道，微积分自17世纪诞生以来，始终是沿着微分与积分两条独立的道路在发展，从而彼此割裂。但事实上，微分与积分是紧密联系在一起的，他们实际上是互逆的两个过程。作者自己于1927年，在德国出版了一套微积分教材，将微分和积分统一在整个微积分的框架之下，这种写法从此就成为了后来的微积分教材的标准框架。后来的美国学者于1934年按照这个框架出版了一套微积分教材《Calculus》，成为美国大学和数学工作者的通用教材。而随着时间的推移，人们渐渐感到了这套教材的不足，改写这套教材的需求日益强烈。于是，作者在继承了上述著作的传统基础之上，重新编写了一套更为全面详尽且系统的微积分教材，并于1965年在美国出版，即为本书。

该书也由我国学者张鸿林，周民强翻译成中文，由科学出版社出版。

当然，提到这本书，就不得不说一下书的作者之一理查德·柯朗。

柯朗是德裔美籍数学家于1888年出生在普鲁士，1907年进入哥廷根大学，成为20世纪数学领袖希尔伯特(Hilbert)的助手。当时的哥廷根大学，继承了了高斯的传统，在希尔伯特与另一位大数学家克莱因(Klein)的领导下，成为了世界数学中心，影响了20世纪前半叶的数学发展。一大批成员后来成长为各个领域的领袖人物，比如杰出的女数学家——“代数学之母”艾米·诺特(Emmy Nother)。当时形成了以希尔伯特为中心的哥廷根学派，而柯朗也是这个学派的重要成员之一。他在1929年筹建成立了哥廷根数学研究所，并担任所长。纳粹上台后，柯朗来到美国担任纽约大学教授，并因其在纽约大学的工作赢得了世界性的声誉。1964年，纽约大学数学科学研究所改名为柯朗数学研究所，后来逐渐能成为世界上最著名和最有声望的应用数学研究所之一。在US News大学专业排名中，科朗数学研究所的应用数学学科连续多年排名全美第一，是世界数学研究的重镇。

除了《微积分和数学分析引论》，科朗还写过另外一本书《什么是数学？》，也是通俗介绍数学基础理论的世界名著，我国也已经翻译出版。

3.《微积分和数学分析引论》这本书包含的具体内容是什么？应当如何学习？

本书的第一卷是单变量微积分部分，国内的译本是分为两个分册出版。

这一分册的内容基本上就包括了微积分最核心的东西：微分和积分，以及二者共同的基础：极限。可以说，如果只是想对微积分做一个初步的了解的话，只学这一分册的内容就可以了。在第一章引言的部分，会讲到实数连续统这个概念，即我们所说的实数理论。这个概念其实是整个书里中最难理解的一部分内容，事实上，它不属于微积分的内容，而是属于数学分析。因此如果只是初中生的话，没有必要学习这部分内容，即使对于大学生而言，学习这部分内容也是非常困难的。但是它又是整个分析学大厦的一个基础，因此放在第一章第一节，但其实直接跳过这部分内容学下面的也不受影响。我们国内的数学分析课本上，一般都是把这一章放在后面来学。

第二章和第三章就是介绍了微分与积分的积分的基本概念与基本计算方法，这是微积分的主体内容，也是你重点需要学习的内容。这里面有关微分与积分的定义是比较难的部分，也是偏数学分析的部分，需要根据自己的实际水平来斟酌掌握。而有关微积分计算的部分则比较容易，我觉得是初中生可以胜任的。

这一分册的主要内容就是无穷级数与微分方程。第四章介绍了微积分在物理和几何中的应用，帮助你更好理解我们学微积分是为了干什么。第五、七、八这3章就是无穷级数的内容，无穷级数是微积分里面非常难的一部分内容，甚至比积分和微分本身还要难，尤其是其中的泰勒展开式，很多大学生都叫苦不迭，因此也不建议初中生学习。后面关于函数项级数与三角级数的概念，属于数学分析的内容，难度也很大，初中学习的话也会非常吃力。第九章可以作为初步了解微分方程的一个章节，但是也有部分内容比较困难。

从第二卷开始就进入了多变量微积分部分。这部分内容包含的基本思想与基本框架沿袭了单变量部分。

这一分册作为多变量微积分的开端，主要介绍了学习多变量微积分所使用的一些基本工具，包括多元函数，平面拓扑，向量，矩阵等等。其中向量与矩阵属于线性代数的内容，线性代数是大学里面专门的一门课程，这里只是对它的基本概念做一些简要介绍，目的主要是为了后面学习多变量微积分的需要。

多变量微积分总体上来看就是在立体空间中做微积分，因此需要有很强的空间想象能力，所以高中的立体几何知识必须要具备。其中比较难的一部分内容就是方向导数，作为初中生这部分内容可以暂时不学。以及在第三章中会提到所谓的微分形式，这一部分内容也超出了基本微积分很多，甚至超出了数学分析，在国内的教材中，一般是到微分几何里面才学到，因此这部分内容也可以暂时不管。

这部分内容主要就是多元函数的积分理论。包括多重积分，曲面积分和曲线积分，在物理学中应用非常广泛。它本身概念不难，理解起来相对容易。但是公式很多，图形也很复杂，要记忆的知识点很琐碎，因此在庞杂程度上对学习造成了困难。我的建议是，如果你对物理学感兴趣的话，可以学习这部分内容，否则的话也没有必要学这么深。

第六章是微分方程的深入内容，介绍了各种各样不同类型的微分方程，所对应的不同接法以及简单的微分方程一般性理论，以计算为主，我认为只做了解即可。第七、八两章其实已经不属于微积分的内容了，第七章的变分学是最优化理论中的内容，而第八章已经到了复变函数，除非你真的想一步登天，否则这两部分内容完全可以不用学。

总之，这本书的内容非常多非常全面，也比较深，因此一定要有选择性的学习，并不需要把所有内容都学懂。里面每个概念的基本介绍与基本计算是你需要学习的，他们也是微积分的核心内容。而每个概念的严格定义与每个定理的严格推导与证明则是数学分析的内容，如果实在学不懂的话就可以选择舍弃。

4.初中生到底适不适合学习这套教材？

前面已经说过，学习微积分需要一些必备的高中数学基础，但是并不是说你有了这些基础就可以把微积分学的很好。我们一般把中学的数学称为初等数学，而把包括微积分在内的大学数学称为高等数学。初等数学与高等数学之间的鸿沟是非常巨大的，原因在于二者所采用的基本思想是截然不同的。

初等数学基本上只是一种静态的数学，点就是点，数就是数，量就是量。而到了高等数学阶段，则采用一种动态变化的方法来研究问题。比如无穷大和无穷小这个概念，我们不把它们看作是静止的量，而是看作一系列的过程。比如我们对无穷小的定义是一个趋近于0的数列，而数列趋近于零，又需要使用严格的ε-N定义，是你在初等数学中完全不会接触到，甚至超过你想象的一种数学思想。因此你必须对数学有着非常深刻的理解，才能比较顺畅的学习微积分。否则的话是只知其表而不知其里。而对数学有深刻的理解，必须是建立在长期的积累与思考基础之上，这需要时间的打磨。因此在具备了基础的高中数学知识基础之上，初中生学习微积分大致是可行的，但是要想学得很深很透很扎实，是非常非常困难的。

所以我的建议是，通过这本书的学习，基本上了解微积分的风貌，他研究了什么问题是怎样研究的，一些基本的计算方法是怎样，会自己做一些求导和积分的运算就足够了，至于更深的原理和更严谨的定义，这个是留需要留到大学之后再去学习，现在最重要的任务是打好基础，把初等数学的知识扎实，切不要好高骛远，揠苗助长。

另外还有非常重要的一点，《微积分和数学分析引论》，这本书是美国人编写的，它是按照西方数学教育的知识框架来安排的，而我国的数学教材是源于苏联体系，虽然二者之间讲的核心内容都一样，但是在讲法，知识顺序以及彼此衔接上还是有一些不同的。因此你按照国内中学的知识体系去学习西方课本，也会给学习过程中带来一些迷惑，这点也是需要注意的。

苏联时期最伟大的数学家——柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov，1903-1987)

5.有哪些学习微积分更好的途径？

上文提到，《微积分和数学分析引论》是按照美国的课程体系编写的教材，因此不太适合中国人来学习，尤其是对于中学生而言。想学微积分的话还是按照我们中国人自己的教材来。中国大学里面通用的微积分教材就是著名的“同济七版”《高等数学》，分为上下两侧，其编排也基本上是上册单变量部分，下册多变量部分，不过它作为高等数学的教材，还多了空间解析几何这一部分内容。

这本书内容比较全面，难度适中，课后习题量也比较适当。这本教材是中国人自己编写的，虽然整体上不如国外的同类教材，但毕竟是用我们熟悉的语言和熟悉的知识结构，因此适合中国人自己来学习。

如果你只是想对微积分的概貌做一个了解而不深究其原理的话，那么没有必要学习高等数学，有很多单纯讲授微积分的教材，即在高等数学中拿掉空间解析几何，以及曲线积分和曲面积分等复杂的内容，那么我推荐以下的这本教材：

这本书虽然是面向经管类学生的，但是也较为深入的介绍了微积分的各个理论，并且逻辑结构自己个人感觉还是不错的，并且有配套的习题及，习题难度适中，讲解详细，是一套非常优秀的微积分教材。当然国内其他高校也出版了很多微积分教材，读者可以自行进行选择。

不管是《高等数学》也好，还是《微积分》也好，都只是停留在微积分的层次。如果你想学习更高层次的数学分析，那么就需要选用专门的数学分析教材，在此我也推荐一套国内大学数学分析课程最通用的教材

这本书的内容就是真正的数学分析了，他强调概念的严密定义与定理的严格证明，因此难度明显大于微积分，学习起来也会比较吃力，建议个人先把微积分学好，然后再去学习数学分析，其实国外的数学分析课程也基本都是按照这个顺序来安排的。

现在网络技术发达，网上也有很多很好的学习资源，比如下面便是在b站上搜索高等数学出来的截图，有的课程老师讲的非常好，可以当成自主学习的来源

结语

初中生想学习微积分，想必是对数学充满了兴趣与热情，相信当你在学完真正的微积分或者数学分析的时候，你对数学的认识和理解你的思维方式都会更上一层楼，但是这也是一个非常困难的过程，需要付出极大的精力与时间。不过我相信有了兴趣做护航，任何困难都是可以克服的。

参考文献

[1] 《高等数学》，第七版，同济大学数学系，北京，高等教育出版社

[2] 《数学分析（下册）》，第三版，华东师范大学数学系，北京，高等教育出版社

[3] 《微积分和数学分析引论》，R.柯朗，F. 约翰，张鸿林，周民强译，北京，高等教育出版社

[4] Calculus, early transcendentals, 11ed, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, JOHN WILEY & SONS, INC

[5] Calculus, early transcendentals,7ed, James Stewart, Brook/COLE

[6] Precalculus, 7ed, James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson, CENGAGE

[7] Precalculus, 9ed, Michael Sullivan, PEARSON

数学救火队长

作为一名初中生，能够有这个想法，说明你聪明好学，是值得肯定的。至于是否应该投入精力去学，需要视情况而定。

几年前，我去过北京八中的少年班课堂听课，那个班级30名学生，年龄大都在13岁左右，老师讲的是高中的三角函数，学生反应特别快，讨论很热烈，一节课容量很大。他们都要提前考大学。说明有少数孩子，比同龄人学习能力强很多，可以提前学习高中甚至大学的课程。

自然，大多数学生，还是要按部就班的学习。

如果你在正常学习中很轻松，考试成绩一直很好，有余力学习更多知识，可以选择自己有兴趣的内容学习，自然也包括你说的高等数学。

高等数学是大学数学课程里的其中一门，还有高等代数、复变函数等。

但是，不建议你花费更多时间去学习高等数学，因为你现在的任务是要为考上高中、大学做准备，上大学以后，学习高等数学就会有使命感和责任感了，效果也会更好。

管窥苍穹

对自己要求高是好事，值得表扬。作为学霸，还是建议做好本职工作，一步步来. 中考的知识点90%来自书本。10%拔高题，也就是书本知识需要全部掌握，在考虑超纲范围，微积分。也有奥赛题你可以挑战一下。也希望家长会注意到，书本知识，还有卷纸才是关键，希望能帮助你

聚宝盆摇钱树

初三的话，还是可以的。

高中数学和物理，会接触微积分基础，所以不算很超前，也有帮助，但不必很深入，会基本的微分和积分就可以了，解微分方程高中很少用到。微积分主要是思想，微分运算很机械的，背了微分表即可。积分是不定积分有点技巧，但一般用不到很复杂，背了基本积分表也可以。学这个的前提是解析几何，即函数，初中也有接触的，再深点就是。

相对论不需要微积分基础，也是思想。相对论是力学的延续，学过高中力学後就可以学，所以要先学高中力学。

现在才看到你文中的内容。数学分析是高等数学中偏难的，建议你暂时搁置，那个要到大学数学专业才深入学习的，普通的专业都用不到，何况你还是初中阶段。