要用
皮亞諾公理才能證明「1+1=2」？羅素：弱爆了！
數學家羅素的鉅著Principia Mathematica用了300多頁才證明出「1+1=2」！
362頁啊！才證出來1+1=2！
Principia Mathematica (中文譯名：數學原理)，是英國哲學家、邏輯學家、數學家羅素於1910-1913年出版的鉅著。
整整3大卷作品，書寫著他宏大的夢想---用最少的公理構建出完美的數學系統！所以看起來很平凡的結論都要寫很長很長的證明。
看完之後……
誒誒誒誒誒？？？
我滴媽…不對呀…「1+1=2」怎麼寫了300多頁的證明誒！
我三歲就會，用了十多年的「1+1=2」，
難道是1910年才被大數學家羅素用300多頁複雜的邏輯運算才證出來的嗎???！！！
所以……
難道我們日常買菜用的數學需要這麼複雜的理論基礎才能被確定是正確的嗎？！
所以1910年以前的人們都是在盲目使用自己都不敢確信的結論？
如果沒有羅素，我們現在都不敢確定1+1=2？？？
當然不是啦～！
正如題主所說，「1+1=2」就是“非常直觀就能知道是正確的”。
關於這一點，羅素的學生維特根斯坦，曾經在他的Lectures on the Foundations of Mathematics, Cambridge 1939，給出過更好的詮釋：
If a persistent discrepancy arose between counting and Principia, this would be treated as evidence of an error in Principia, not as evidence of an error in everyday counting.
翻譯一下就是：
如果用《數學原理》推導出了不符合日常算數的結論的話，那就是《數學原理》搞錯了，而不是我們的日常算數出錯了。
不過為什麼維特根斯坦要這麼說呢？該怎麼理解維特根斯坦的話呢？為什麼要證明1+1=2？別答主已經講了不少，不過這裡面還是有很多很有意思的事情（長文預警！！！
目錄：
一、需要數學證明才能知道是正確的嗎？
二、公理化
三、從《幾何原本》到非歐幾何
四、算數的公理：皮亞諾公理
五、有沒有“非皮亞諾算數”？
六、既不能被證明也不能被證偽的命題
七、皮亞諾算數就完美了嗎？
八、哥德爾不完備性定理
一、需要「數學證明」才能知道是正確的嗎？
日常會話中，“證明”一詞往往強調真實性。
平時，我們說“證明XXX”，通常蘊含了“XXX為真”的意思。比如，日常會話中，我可以說：“我的學生證能證明我是大學生”。這種語境下，我的話裡蘊含了“我真的是大學生”。
然而，數學上，“證明”僅強調一定條件下命題之間的邏輯蘊含關係。
比如，實數域上，我們可以說“用 x³ -1=0 能證明 x=1”。
同時，我們也能說“用 x=1 能證明 x³ -1=0”。
這兩個句話都沒有說x = 1為真或是x³ - 1 = 0為真，僅僅是給出了命題之間的邏輯關係！
同理，當數學上說“用皮亞諾公理證明「1+1=2」”的時候，完全沒有“「1+1=2」為真”的意思，僅僅是說“用皮亞諾公理能夠推導出1+1=2而已”。
再比如，學數學的同學常常會遇到“幾個命題互證”的問題。這裡並不是說這幾個命題都是絕對為真的，而是說這幾個命題能互相推導而已。
所以啊，「數學證明」其實和我們平時所說的「正確」是沒有關係的！
所以並不是說皮亞諾公理出現之前我們就無法確信「1+1=2」。事實上，皮亞諾公理只不過是一組「1+1=2」的充分條件而已。
二、公理化
為什麼我們需要公理呢？
首先，最關鍵的一個原因就是：我們需要起點。
我們剛剛知道，數學證明僅僅是描述命題之間的推導關係的。
因此，如果我們想要構建體系，一定需要一些可以默認為真的命題作為起點，才能在它們的基礎上推出更多的結論，這些命題就是公理。
只有這些公理是可以不用證明的，除此之外，所有的命題都能被公理證明出來。
數學像一棵樹，總是在從更基礎理論去證明上面理論，因此我們需要公理——作為最基礎的根基。
不僅僅是整個數學體系需要公理作為一切的開始，為了方便研究，數學界中的每一個小的系統都有自己的公理。實數有實數的公理、線性空間有線性空間的公理……這樣，系統可以被獨立開來，方便研究。同時，系統的公理也能成為了這個系統的“接口”。比如，我們能夠證明函數滿足線性空間的公理，因此，在解線性微分方程的時候，我們能毫不猶豫地利用線性代數的知識、像解多元一次方程組一樣地得出：通解=非齊次方程特解+齊次方程通解。
不過，除此之外，公理化還常常能幫助我們把握體系的本質，同時讓我們可以推廣體系。下面的從歐氏幾何中推廣而來的非歐幾何，就是一個很好的例子。
三、從《幾何原本》到非歐幾何
最早也最經典的公理化體系，就是歐氏幾何。
它來自於歐幾里得的
《幾何原本》。
為了建立自己的平面幾何系統，歐幾里得在《幾何原本》的開頭，便提出了赫赫有名的歐氏幾何五大公設：
公設1：任意兩點可通過直線連接
公設2：線段可以任意延長
公設3：以任意點為心及任意的距離可以畫圓
公設4：凡直角都彼此相等
公設5：同平面內一條直線與另外兩直線相交，若在某一側的兩個內角和小於二直角的和，則這二直線經無限延長後在這一側相交。
（注1：其實還有5個“公理”，不過是關於代數計算的。真正構建幾何的還是五大公設。）
（注2：公設（Postulate）和公理（Axiom）在邏輯上沒有區別。只是公設強調強調默認事實，而公理強調是作為體系的前提。現代數學基本上都用“公理”了。）
從《幾何原本》的觀點來看，世界上這麼多繁多複雜的幾何學問題、幾何學原理，都能用這5個公設證明出來。
《幾何原本》上關於全等三角形SAS判定的證明
《幾何原本》上關於全等三角形SAS判定的證明（接上圖）
第五公設與黎曼幾何
五大公設中最有名的就是這第五公設了：
公設5：同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角和小於二直角的和，則這二直線經無限延長後在這一側相交。
等(說)價(成)命(人)題(話) 就是：三角形內角和是180°。
emm……相信大家都能看出來，這第五公設有個很大很大的問題，就是：
其他公設都感覺是顯而易見的，然而，第五公設怎麼看都像是被證出來的定理……
事實上，從《幾何原本》誕生以來，近兩千多年裡，世界各地很多數學家都對第五公設表示很不爽……嘗試去證明第五公設的不計其數，包括但不限於：希臘數學家普羅克魯斯(410-485)，阿拉伯數學家海什木(965—1040)，波斯數學家莪默·伽亞謨(1048-1131)……
然而，從沒有人成功過……
終於有一天，在不斷研究第五公設之後，有幾個數學家發現了華點！
三角形內角和180°真的是必須成立的事實嗎？
第五公設可不可以刪掉或是改掉？
終於，匈牙利年輕的數學家波爾約和俄羅斯數學家羅巴切夫斯基站了出來，發表了他們對一種新的幾何體系的研究，這種幾何體系最終被叫做波爾約-羅巴切夫斯基幾何。
他們把原來的第五公設改為了：
過直線外一點，可作多條直線與已知直線平行。
你可能會說：誒呀媽呀，這怎麼可能？
然而，這一條新的“第五公設”，確實不會與前四條公設衝突！而且確實可以推導出另一個完整、嚴密的幾何系統！
嗯，還有，在這新的幾何系統下，三角形內角和會永遠小於180°！
潘多拉魔盒被打開了。不久之後，隨著數學家黎曼的一些研究，一個嶄新的、強大的幾何學領域誕生了出來，史稱——黎曼幾何。
黎曼考慮一種新的第五公設：
在同一平面內任何兩條直線都有交點。
這樣也能構成一個完整的幾何體系，在這個體系裡，三角形內角和會永遠大於180°！
不過，這些的體系真的有用嗎？三角形內角和大於180°的世界存在嗎？
……
有用！！我們的世界可能就是！
地球上的三角形——內角和永遠大於180°。只不過在三角形本身很小的時候趨近於180°而已。
黎曼就意識到了這個問題——事實上，如果歐式幾何是研究平面上幾何。非歐幾何，其實就是曲面上的幾何。
黎曼因此將這些問題推廣到了更高維的世界中去，並開始研究各種各樣“扭曲”的空間，然後得到了很多重要的理論。當愛因斯坦提出廣義相對論、指出空間可以“扭曲”的時候，黎曼幾何發揮了至關重要的作用。
如果沒有歐幾里得的五大公設，如果沒有數學家們對第五公設的各種不滿導致的各種研究，不知道黎曼幾何能不能被這麼快的發展出來。
四、算數的公理：皮亞諾公理
幾何有幾何的公理，我們的算數（沒錯，就是加減乘除），是不是也需要用公理？
「1+1=2」這樣具體的算式能不能作為公理？顯然是不行的。因為算式無窮無盡，列出再多的算式也不能概括算數系統地性質。
歐幾里得能用僅僅五條公設將變化萬千幾何的世界很好的概括出來。同樣，我們希望我們算數的公理能夠簡潔、精煉，這樣我們就可以更好地提煉體系的本質。
19世紀末，皮亞諾等數學家的研究，最終給出了一種定義算數系統的方式，以下五條公理著名的皮亞諾公理就是用來定義自然數的：
公理1：0是自然數；
公理2：每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數Sa，Sa 也是自然數；
公理3：對於每個自然數a、b，a=b當且僅當Sa=Sb;
公理4：0不是任何自然數的後繼數；
公理5 (歸納公理)：任意關於自然數的命題，如果證明：它對自然數0是真的，且假定它對自然數a為真時，對Sa 也為真。那麼，命題對所有自然數都真。
正如歐幾里得的五大公設能夠撐起整個幾何體系一樣，皮亞諾公理也能撐起我們算數體系。
至於怎麼用五大公理定義自然數、定義加減乘除、構建算數體系，其他回答應該已經講得比較清楚了，這裡就不再贅述了。
不過我想強調一下這皮亞諾第五公理——歸納公理。這是一個非常神奇而有用的公理，它指出了我們可以像推多米諾骨牌一樣地證明自然數的性質——多米諾骨牌中，如果第一塊牌被推倒了，而且每一塊倒下時都能推倒下一塊，那麼整條多米諾骨牌都會被推倒。
歸納公理也是如此：如果一個命題對0(第一個自然數)為真，而且命題對n為真能推出Sn也為真，那麼這個命題對所有的自然數都為真。
歸納公理非常重要，非常多常用的、重要的定理，都需要用歸納公理證明。
一個很好的例子：加法結合律。
加法結合律——對於所有自然數x, y, z，都有(x + y) + z = x + (y + z)
啊咧？……這不是很自然嗎？
嘿，別忘了我們可是公理化體系！我們可是想要從5條皮亞諾公理推出整個算數系統的！我們當然需要用公理來證明加法結合律的！
這裡給出加法的定義：x + 0 = x，x + Sy = S(x + y)
然後，加法結合律可以這樣證明：
· 首先，當z = 0的時候，(x + y) + 0 = x + y = x + (y + 0)，命題成立。
· 然後，如果z = n 的時候命題成立，即(x + y) + n = x + (y + n)；那麼，當z = Sn時， (x + y) + Sn = S((x + y) + n) = S(x + (y + n)) = x + S(y + n) = x + (y + Sn) ，命題也成立。
這樣，由歸納公理，就可以得出對於所有自然數x，y，z，都有(x + y) + z = x + (y + z)
不光是加法結合律，很多很多很常用、看上去很“顯然”的理論像加法交換律、乘法結合律、乘法分配律…都可以用歸納公理證明出來。當然，歸納公理不僅僅能幹這些，還能用來很多很多重要的數學結論。數學歸納法也成為了數學界最常用的證明手段之一。
所以，請好好記住這個有用的歸納公理吧！
嗯，我們馬上就要和它說再見了！
五、有沒有“非皮亞諾算數”？
真的可以有！
嗯，沒錯，我們現在要開始迫害皮亞諾算數的第五公理（歸納公理）了！
先將五大公理重新列一遍：
公理1：0是自然數； 公理2：每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數Sa，Sa 也是自然數； 公理3：對於每個自然數a、b，a=b當且僅當Sa=Sb; 公理4：0不是任何自然數的後繼數； 公理5 (歸納公理)：任意關於自然數的命題，如果證明：它對自然數0是真的，且假定它對自然數a為真時，對Sa 也為真。那麼，命題對所有自然數都真。
然後把第五公理去掉：
公理1：0是自然數； 公理2：每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數Sa，Sa 也是自然數； 公理3：對於每個自然數a、b，a=b當且僅當Sa=Sb; 公理4：0不是任何自然數的後繼數。
不過這樣的話會出現一個很嚴重的問題。
前四條公理給了我們一條從0開始的自然數序列，卻沒有說明自然數集只有這一條序列。
只有前四條公理的話，自然數完全可以長成這個樣子：
如果只有前四條公理，假如在正常的自然數集中，亂入了一個新東西a，然後由於公理2產生了一個新的後繼序列，也是可能的。因為如果沒有第歸納公理的話，我們無法證明這個亂入a不是自然數。
（高贊
@馬同學
對此給了一個具體的例子，他那裡的0.5就是我這裡的a。事實上，這個a是什麼東西不重要，a可以不是有理數、不是實數、不是複數，它只是一個亂入到自然數集的東西，然而沒有歸納公理的話我們根本無法證明它不屬於自然數。）
不過，為了杜絕這樣的“亂入者”，我們除了歸納公理以外，還是可以有別的手段的！
我們認真觀察一下這個亂入者“a”有什麼特點：
它是孤兒(雖然它有後繼數，但它不是任何其他自然數的後繼數)
因此，為了杜絕“亂入者”，我們可以加入新的公理：
公理1：0是自然數； 公理2：每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數Sa，Sa 也是自然數； 公理3：對於每個自然數a、b，a=b當且僅當Sa=Sb; 公理4：0不是任何自然數的後繼數； 公理5：除了0以外，每一個自然數都是另外一個自然數的後繼數。
這樣就不會有“a”這樣的亂入者。
恭喜！發現了皮亞諾算數以外新的算數系統！
不過其實這個算數系統早就被提出了，它叫做Robinson算數，它是於1950年被美國數學家Raphael M. Robinson首次提出的。
事實上，Robinson算數系統在如此定義了自然數之後，還能完美定義加法、乘法、甚至積分等各種運算，並且同樣也能將自然數完美地擴展到有理數域，甚至是實數域……
我們日常生活用到的各種計算，基本上用Robinson算數系統也完全可以毫無壓力地推導出來。
其實，Robinson算數可以視為一個弱化版本的皮亞諾算數，因為“除了0以外，每一個自然數都是另外一個自然數的後繼數。”這個命題其實可以被歸納公理證明出來的。
不過，我們既然削弱了算數系統，那麼，代價是什麼呢？
六、既不能被證明也不能被證偽的命題
這是Robinson算數世界裡，常常會發生的一種奇怪的現象。
一個很好的例子：加法結合律。
加法結合律——對於所有自然數x, y, z，都有(x + y) + z = x + (y + z)
啊咧？……這不是很自然嗎？
Robinson算數：來來來！有本事你證啊！
emm……在Robinson算數中，因為沒有了歸納公理，加法結合律沒有辦法被證明出來。
在Robinson算數中，隨便給出三個具體的數，其結合律都可以被證明出來。比如，我可以選1,5,3，然後我可以通過計算(1+5)+3=6+3=9 和1+(5+3)=1+8=9證明(1+5)+3=1+(5+3)。然而，整個Robinson自然數集上的結合律卻沒有辦法被證出來。
沒錯，你可以證明當z=0時，(x+y)+z=x+(y+z)
你也可以證明：如果z=n時加法結合律成立，那麼z=Sn時加法結合律也成立。
但是你就是不能證明加法結合律在整個Robinson自然數集上都成立！
雖然數學歸納法聽上去那麼自然、那麼合理，然而Robinson算數的世界裡沒有數學歸納法，你就不能使用它！就像三角形內角和180°在非歐幾何中不成立一樣。
這是一個就算多米諾骨牌排成一列、你能推倒第一塊牌、而且每一塊牌倒下時都能推倒下一塊牌，然而你還是不能推倒整個多米諾骨牌序列的世界！
哈，不僅如此，還有更有趣的事情！
你不光沒有辦法證明加法結合律，你還沒有辦法證偽加法結合律！
也就是說，在Robinson算數中，你既不能論述加法結合律是對的，也不能論述加法結合律是錯的。
你推導不出來了，你也找不到反例！任意三個具體的數，其結合律都可以被驗證是對的！
沒錯，這就是Robinson算數中常常出現的——既不能被證明也不能被證偽的命題！
不光是加法結合律，像什麼加法交換律、乘法結合律、乘法交換律……甚至是1∗x=x，很多很多命題，在Robinson算數里都是既不能被證明、也不能被證偽的！
七、皮亞諾算數就完美了嗎？
Robinson算數好弱呀，看上去能算不少東西，可惜這麼多定理都既不能被證明也不能被證偽……
那皮亞諾算數中，是不是就不會有“既不能被證明也不能被證偽”的命題呢？
不！
皮亞諾算數中，依然存在既不能被證明也不能被證偽的命題！
不僅如此，哥德爾不完備性定理
還告訴我們，無論再怎麼強化這組算數公理，算數系統內還是會存在既不能被證明也不能被證偽的命題！八、哥德爾不完備性定理
最有意思的東西終於來了。
20世紀20年代，以希爾伯特為首的很多數學家，做著希望能有一天建立起完備的數學大廈的美夢。
而1931年，美國數學家哥德爾提出了哥德爾不完備性定理，將數學家們狠狠地拍醒了。
哥德爾不完備性第一定理：任意一個包含一階謂詞邏輯與初等算數的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明為真，也不能被證明為否。
啊…哥德爾的定理大概意思就是：
你們想要的算數系統，都會存在既不能被證明為真，也不能被證明為否的定理！
除非……除非你們放棄一部分初等算數：比如Presburger算數雖然沿用了皮亞諾算數對自然數的定義，但它僅僅支持了加法，它就可以做到完備。
或者……或者你們放棄一些一階邏輯：比如放棄“變量”這一概念的存在，我們就根本無法描述加法結合律。
你們想要的——一個包含一階謂詞邏輯與初等算數的形式系統——都存在既不能被證明為真，也不能被證明為否的命題！
沒錯，即使是皮亞諾算數，也做不到完備！
雖然皮亞諾算數給了我們很多很多的定理；但是，對於那些我們還不知道命題，比如哥德巴赫猜想，完全有可能是皮亞諾公理既證明不了也證偽不了的命題。
其實，到頭來，我們還是不能完完全全地瞭解真實的自然數。
哥德爾不完備性告訴了我們：我們永遠無法找到一組能夠概括出真正的自然數的所有性質的公理。
對於我們來說，無窮無盡的自然數，還將永遠充滿未知與謎團。
參考文獻：
Bezboruah, A., & Shepherdson, J. C. (1976). Gödel's second incompleteness theorem for Q.The Journal of Symbolic Logic,41(2), 503-512.
Fitzpatrick, R. (2007).Euclid’s elements of geometry. Euclidis Elementa.
Taranovsky, D. (2016). Arithmetic with Limited Exponentiation.arXiv preprint arXiv:1612.05941.
Wittgenstein, L., & Bosanquet, R. G. (1976).Lectures on the foundations of mathematics: Cambridge, 1939. Harvester.
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