要用
皮亚诺公理才能证明「1+1=2」？罗素：弱爆了！
数学家罗素的巨著Principia Mathematica用了300多页才证明出「1+1=2」！
362页啊！才证出来1+1=2！
Principia Mathematica (中文译名：数学原理)，是英国哲学家、逻辑学家、数学家罗素于1910-1913年出版的巨著。
整整3大卷作品，书写着他宏大的梦想---用最少的公理构建出完美的数学系统！所以看起来很平凡的结论都要写很长很长的证明。
看完之后……
诶诶诶诶诶？？？
我滴妈…不对呀…「1+1=2」怎么写了300多页的证明诶！
我三岁就会，用了十多年的「1+1=2」，
难道是1910年才被大数学家罗素用300多页复杂的逻辑运算才证出来的吗???！！！
所以……
难道我们日常买菜用的数学需要这么复杂的理论基础才能被确定是正确的吗？！
所以1910年以前的人们都是在盲目使用自己都不敢确信的结论？
如果没有罗素，我们现在都不敢确定1+1=2？？？
当然不是啦～！
正如题主所说，「1+1=2」就是“非常直观就能知道是正确的”。
关于这一点，罗素的学生维特根斯坦，曾经在他的Lectures on the Foundations of Mathematics, Cambridge 1939，给出过更好的诠释：
If a persistent discrepancy arose between counting and Principia, this would be treated as evidence of an error in Principia, not as evidence of an error in everyday counting.
翻译一下就是：
如果用《数学原理》推导出了不符合日常算数的结论的话，那就是《数学原理》搞错了，而不是我们的日常算数出错了。
不过为什么维特根斯坦要这么说呢？该怎么理解维特根斯坦的话呢？为什么要证明1+1=2？别答主已经讲了不少，不过这里面还是有很多很有意思的事情（长文预警！！！
目录：
一、需要数学证明才能知道是正确的吗？
二、公理化
三、从《几何原本》到非欧几何
四、算数的公理：皮亚诺公理
五、有没有“非皮亚诺算数”？
六、既不能被证明也不能被证伪的命题
七、皮亚诺算数就完美了吗？
八、哥德尔不完备性定理
一、需要「数学证明」才能知道是正确的吗？
日常会话中，“证明”一词往往强调真实性。
平时，我们说“证明XXX”，通常蕴含了“XXX为真”的意思。比如，日常会话中，我可以说：“我的学生证能证明我是大学生”。这种语境下，我的话里蕴含了“我真的是大学生”。
然而，数学上，“证明”仅强调一定条件下命题之间的逻辑蕴含关系。
比如，实数域上，我们可以说“用 x³ -1=0 能证明 x=1”。
同时，我们也能说“用 x=1 能证明 x³ -1=0”。
这两个句话都没有说x = 1为真或是x³ - 1 = 0为真，仅仅是给出了命题之间的逻辑关系！
同理，当数学上说“用皮亚诺公理证明「1+1=2」”的时候，完全没有“「1+1=2」为真”的意思，仅仅是说“用皮亚诺公理能够推导出1+1=2而已”。
再比如，学数学的同学常常会遇到“几个命题互证”的问题。这里并不是说这几个命题都是绝对为真的，而是说这几个命题能互相推导而已。
所以啊，「数学证明」其实和我们平时所说的「正确」是没有关系的！
所以并不是说皮亚诺公理出现之前我们就无法确信「1+1=2」。事实上，皮亚诺公理只不过是一组「1+1=2」的充分条件而已。
二、公理化
为什么我们需要公理呢？
首先，最关键的一个原因就是：我们需要起点。
我们刚刚知道，数学证明仅仅是描述命题之间的推导关系的。
因此，如果我们想要构建体系，一定需要一些可以默认为真的命题作为起点，才能在它们的基础上推出更多的结论，这些命题就是公理。
只有这些公理是可以不用证明的，除此之外，所有的命题都能被公理证明出来。
数学像一棵树，总是在从更基础理论去证明上面理论，因此我们需要公理——作为最基础的根基。
不仅仅是整个数学体系需要公理作为一切的开始，为了方便研究，数学界中的每一个小的系统都有自己的公理。实数有实数的公理、线性空间有线性空间的公理……这样，系统可以被独立开来，方便研究。同时，系统的公理也能成为了这个系统的“接口”。比如，我们能够证明函数满足线性空间的公理，因此，在解线性微分方程的时候，我们能毫不犹豫地利用线性代数的知识、像解多元一次方程组一样地得出：通解=非齐次方程特解+齐次方程通解。
不过，除此之外，公理化还常常能帮助我们把握体系的本质，同时让我们可以推广体系。下面的从欧氏几何中推广而来的非欧几何，就是一个很好的例子。
三、从《几何原本》到非欧几何
最早也最经典的公理化体系，就是欧氏几何。
它来自于欧几里得的
《几何原本》。
为了建立自己的平面几何系统，欧几里得在《几何原本》的开头，便提出了赫赫有名的欧氏几何五大公设：
公设1：任意两点可通过直线连接
公设2：线段可以任意延长
公设3：以任意点为心及任意的距离可以画圆
公设4：凡直角都彼此相等
公设5：同平面内一条直线与另外两直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。
（注1：其实还有5个“公理”，不过是关于代数计算的。真正构建几何的还是五大公设。）
（注2：公设（Postulate）和公理（Axiom）在逻辑上没有区别。只是公设强调强调默认事实，而公理强调是作为体系的前提。现代数学基本上都用“公理”了。）
从《几何原本》的观点来看，世界上这么多繁多复杂的几何学问题、几何学原理，都能用这5个公设证明出来。
《几何原本》上关于全等三角形SAS判定的证明
《几何原本》上关于全等三角形SAS判定的证明（接上图）
第五公设与黎曼几何
五大公设中最有名的就是这第五公设了：
公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。
等(说)价(成)命(人)题(话) 就是：三角形内角和是180°。
emm……相信大家都能看出来，这第五公设有个很大很大的问题，就是：
其他公设都感觉是显而易见的，然而，第五公设怎么看都像是被证出来的定理……
事实上，从《几何原本》诞生以来，近两千多年里，世界各地很多数学家都对第五公设表示很不爽……尝试去证明第五公设的不计其数，包括但不限于：希腊数学家普罗克鲁斯(410-485)，阿拉伯数学家海什木(965—1040)，波斯数学家莪默·伽亚谟(1048-1131)……
然而，从没有人成功过……
终于有一天，在不断研究第五公设之后，有几个数学家发现了华点！
三角形内角和180°真的是必须成立的事实吗？
第五公设可不可以删掉或是改掉？
终于，匈牙利年轻的数学家波尔约和俄罗斯数学家罗巴切夫斯基站了出来，发表了他们对一种新的几何体系的研究，这种几何体系最终被叫做波尔约-罗巴切夫斯基几何。
他们把原来的第五公设改为了：
过直线外一点，可作多条直线与已知直线平行。
你可能会说：诶呀妈呀，这怎么可能？
然而，这一条新的“第五公设”，确实不会与前四条公设冲突！而且确实可以推导出另一个完整、严密的几何系统！
嗯，还有，在这新的几何系统下，三角形内角和会永远小于180°！
潘多拉魔盒被打开了。不久之后，随着数学家黎曼的一些研究，一个崭新的、强大的几何学领域诞生了出来，史称——黎曼几何。
黎曼考虑一种新的第五公设：
在同一平面内任何两条直线都有交点。
这样也能构成一个完整的几何体系，在这个体系里，三角形内角和会永远大于180°！
不过，这些的体系真的有用吗？三角形内角和大于180°的世界存在吗？
……
有用！！我们的世界可能就是！
地球上的三角形——内角和永远大于180°。只不过在三角形本身很小的时候趋近于180°而已。
黎曼就意识到了这个问题——事实上，如果欧式几何是研究平面上几何。非欧几何，其实就是曲面上的几何。
黎曼因此将这些问题推广到了更高维的世界中去，并开始研究各种各样“扭曲”的空间，然后得到了很多重要的理论。当爱因斯坦提出广义相对论、指出空间可以“扭曲”的时候，黎曼几何发挥了至关重要的作用。
如果没有欧几里得的五大公设，如果没有数学家们对第五公设的各种不满导致的各种研究，不知道黎曼几何能不能被这么快的发展出来。
四、算数的公理：皮亚诺公理
几何有几何的公理，我们的算数（没错，就是加减乘除），是不是也需要用公理？
「1+1=2」这样具体的算式能不能作为公理？显然是不行的。因为算式无穷无尽，列出再多的算式也不能概括算数系统地性质。
欧几里得能用仅仅五条公设将变化万千几何的世界很好的概括出来。同样，我们希望我们算数的公理能够简洁、精炼，这样我们就可以更好地提炼体系的本质。
19世纪末，皮亚诺等数学家的研究，最终给出了一种定义算数系统的方式，以下五条公理著名的皮亚诺公理就是用来定义自然数的：
公理1：0是自然数；
公理2：每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数Sa，Sa 也是自然数；
公理3：对于每个自然数a、b，a=b当且仅当Sa=Sb;
公理4：0不是任何自然数的后继数；
公理5 (归纳公理)：任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，对Sa 也为真。那么，命题对所有自然数都真。
正如欧几里得的五大公设能够撑起整个几何体系一样，皮亚诺公理也能撑起我们算数体系。
至于怎么用五大公理定义自然数、定义加减乘除、构建算数体系，其他回答应该已经讲得比较清楚了，这里就不再赘述了。
不过我想强调一下这皮亚诺第五公理——归纳公理。这是一个非常神奇而有用的公理，它指出了我们可以像推多米诺骨牌一样地证明自然数的性质——多米诺骨牌中，如果第一块牌被推倒了，而且每一块倒下时都能推倒下一块，那么整条多米诺骨牌都会被推倒。
归纳公理也是如此：如果一个命题对0(第一个自然数)为真，而且命题对n为真能推出Sn也为真，那么这个命题对所有的自然数都为真。
归纳公理非常重要，非常多常用的、重要的定理，都需要用归纳公理证明。
一个很好的例子：加法结合律。
加法结合律——对于所有自然数x, y, z，都有(x + y) + z = x + (y + z)
啊咧？……这不是很自然吗？
嘿，别忘了我们可是公理化体系！我们可是想要从5条皮亚诺公理推出整个算数系统的！我们当然需要用公理来证明加法结合律的！
这里给出加法的定义：x + 0 = x，x + Sy = S(x + y)
然后，加法结合律可以这样证明：
· 首先，当z = 0的时候，(x + y) + 0 = x + y = x + (y + 0)，命题成立。
· 然后，如果z = n 的时候命题成立，即(x + y) + n = x + (y + n)；那么，当z = Sn时， (x + y) + Sn = S((x + y) + n) = S(x + (y + n)) = x + S(y + n) = x + (y + Sn) ，命题也成立。
这样，由归纳公理，就可以得出对于所有自然数x，y，z，都有(x + y) + z = x + (y + z)
不光是加法结合律，很多很多很常用、看上去很“显然”的理论像加法交换律、乘法结合律、乘法分配律…都可以用归纳公理证明出来。当然，归纳公理不仅仅能干这些，还能用来很多很多重要的数学结论。数学归纳法也成为了数学界最常用的证明手段之一。
所以，请好好记住这个有用的归纳公理吧！
嗯，我们马上就要和它说再见了！
五、有没有“非皮亚诺算数”？
真的可以有！
嗯，没错，我们现在要开始迫害皮亚诺算数的第五公理（归纳公理）了！
先将五大公理重新列一遍：
公理1：0是自然数； 公理2：每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数Sa，Sa 也是自然数； 公理3：对于每个自然数a、b，a=b当且仅当Sa=Sb; 公理4：0不是任何自然数的后继数； 公理5 (归纳公理)：任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，对Sa 也为真。那么，命题对所有自然数都真。
然后把第五公理去掉：
公理1：0是自然数； 公理2：每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数Sa，Sa 也是自然数； 公理3：对于每个自然数a、b，a=b当且仅当Sa=Sb; 公理4：0不是任何自然数的后继数。
不过这样的话会出现一个很严重的问题。
前四条公理给了我们一条从0开始的自然数序列，却没有说明自然数集只有这一条序列。
只有前四条公理的话，自然数完全可以长成这个样子：
如果只有前四条公理，假如在正常的自然数集中，乱入了一个新东西a，然后由于公理2产生了一个新的后继序列，也是可能的。因为如果没有第归纳公理的话，我们无法证明这个乱入a不是自然数。
（高赞
@马同学
对此给了一个具体的例子，他那里的0.5就是我这里的a。事实上，这个a是什么东西不重要，a可以不是有理数、不是实数、不是复数，它只是一个乱入到自然数集的东西，然而没有归纳公理的话我们根本无法证明它不属于自然数。）
不过，为了杜绝这样的“乱入者”，我们除了归纳公理以外，还是可以有别的手段的！
我们认真观察一下这个乱入者“a”有什么特点：
它是孤儿(虽然它有后继数，但它不是任何其他自然数的后继数)
因此，为了杜绝“乱入者”，我们可以加入新的公理：
公理1：0是自然数； 公理2：每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数Sa，Sa 也是自然数； 公理3：对于每个自然数a、b，a=b当且仅当Sa=Sb; 公理4：0不是任何自然数的后继数； 公理5：除了0以外，每一个自然数都是另外一个自然数的后继数。
这样就不会有“a”这样的乱入者。
恭喜！发现了皮亚诺算数以外新的算数系统！
不过其实这个算数系统早就被提出了，它叫做Robinson算数，它是于1950年被美国数学家Raphael M. Robinson首次提出的。
事实上，Robinson算数系统在如此定义了自然数之后，还能完美定义加法、乘法、甚至积分等各种运算，并且同样也能将自然数完美地扩展到有理数域，甚至是实数域……
我们日常生活用到的各种计算，基本上用Robinson算数系统也完全可以毫无压力地推导出来。
其实，Robinson算数可以视为一个弱化版本的皮亚诺算数，因为“除了0以外，每一个自然数都是另外一个自然数的后继数。”这个命题其实可以被归纳公理证明出来的。
不过，我们既然削弱了算数系统，那么，代价是什么呢？
六、既不能被证明也不能被证伪的命题
这是Robinson算数世界里，常常会发生的一种奇怪的现象。
一个很好的例子：加法结合律。
加法结合律——对于所有自然数x, y, z，都有(x + y) + z = x + (y + z)
啊咧？……这不是很自然吗？
Robinson算数：来来来！有本事你证啊！
emm……在Robinson算数中，因为没有了归纳公理，加法结合律没有办法被证明出来。
在Robinson算数中，随便给出三个具体的数，其结合律都可以被证明出来。比如，我可以选1,5,3，然后我可以通过计算(1+5)+3=6+3=9 和1+(5+3)=1+8=9证明(1+5)+3=1+(5+3)。然而，整个Robinson自然数集上的结合律却没有办法被证出来。
没错，你可以证明当z=0时，(x+y)+z=x+(y+z)
你也可以证明：如果z=n时加法结合律成立，那么z=Sn时加法结合律也成立。
但是你就是不能证明加法结合律在整个Robinson自然数集上都成立！
虽然数学归纳法听上去那么自然、那么合理，然而Robinson算数的世界里没有数学归纳法，你就不能使用它！就像三角形内角和180°在非欧几何中不成立一样。
这是一个就算多米诺骨牌排成一列、你能推倒第一块牌、而且每一块牌倒下时都能推倒下一块牌，然而你还是不能推倒整个多米诺骨牌序列的世界！
哈，不仅如此，还有更有趣的事情！
你不光没有办法证明加法结合律，你还没有办法证伪加法结合律！
也就是说，在Robinson算数中，你既不能论述加法结合律是对的，也不能论述加法结合律是错的。
你推导不出来了，你也找不到反例！任意三个具体的数，其结合律都可以被验证是对的！
没错，这就是Robinson算数中常常出现的——既不能被证明也不能被证伪的命题！
不光是加法结合律，像什么加法交换律、乘法结合律、乘法交换律……甚至是1∗x=x，很多很多命题，在Robinson算数里都是既不能被证明、也不能被证伪的！
七、皮亚诺算数就完美了吗？
Robinson算数好弱呀，看上去能算不少东西，可惜这么多定理都既不能被证明也不能被证伪……
那皮亚诺算数中，是不是就不会有“既不能被证明也不能被证伪”的命题呢？
不！
皮亚诺算数中，依然存在既不能被证明也不能被证伪的命题！
不仅如此，哥德尔不完备性定理
还告诉我们，无论再怎么强化这组算数公理，算数系统内还是会存在既不能被证明也不能被证伪的命题！八、哥德尔不完备性定理
最有意思的东西终于来了。
20世纪20年代，以希尔伯特为首的很多数学家，做着希望能有一天建立起完备的数学大厦的美梦。
而1931年，美国数学家哥德尔提出了哥德尔不完备性定理，将数学家们狠狠地拍醒了。
哥德尔不完备性第一定理：任意一个包含一阶谓词逻辑与初等算数的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
啊…哥德尔的定理大概意思就是：
你们想要的算数系统，都会存在既不能被证明为真，也不能被证明为否的定理！
除非……除非你们放弃一部分初等算数：比如Presburger算数虽然沿用了皮亚诺算数对自然数的定义，但它仅仅支持了加法，它就可以做到完备。
或者……或者你们放弃一些一阶逻辑：比如放弃“变量”这一概念的存在，我们就根本无法描述加法结合律。
你们想要的——一个包含一阶谓词逻辑与初等算数的形式系统——都存在既不能被证明为真，也不能被证明为否的命题！
没错，即使是皮亚诺算数，也做不到完备！
虽然皮亚诺算数给了我们很多很多的定理；但是，对于那些我们还不知道命题，比如哥德巴赫猜想，完全有可能是皮亚诺公理既证明不了也证伪不了的命题。
其实，到头来，我们还是不能完完全全地了解真实的自然数。
哥德尔不完备性告诉了我们：我们永远无法找到一组能够概括出真正的自然数的所有性质的公理。
对于我们来说，无穷无尽的自然数，还将永远充满未知与谜团。
参考文献：
Bezboruah, A., & Shepherdson, J. C. (1976). Gödel's second incompleteness theorem for Q.The Journal of Symbolic Logic,41(2), 503-512.
Fitzpatrick, R. (2007).Euclid’s elements of geometry. Euclidis Elementa.
Taranovsky, D. (2016). Arithmetic with Limited Exponentiation.arXiv preprint arXiv:1612.05941.
Wittgenstein, L., & Bosanquet, R. G. (1976).Lectures on the foundations of mathematics: Cambridge, 1939. Harvester.
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關鍵字: 伯特兰·罗素 Mathematica 罗素
