莱布尼茨当年认为导数是两个无穷小量dy和dx的商，所以他用dy/dx来表示导数。虽然现在导数不再是这个意思，但是莱布尼茨当年精心发明的这一套符号确实是非常好用，于是我们就继续沿用了下来。
也就是说，我们今天仍然用dy/dx表示导数，但是大家一定要注意，dy/dx在现代语境里是一个极限，不再是两个无穷小量的商。
如果不熟悉微积分的历史，就很容易对这些符号产生各种误解，这也是很多科普文、教科书在讲微积分时的一大难点。因为思想是新的，符号却是老的，确实很容易让人犯糊涂。
于是，在莱布尼茨那里，他是先定义了代表无穷小量的微分dx和dy，然后再用微分的商定义了导数dy/dx，所以那时候导数也叫微商。
但是现在剧情完全反转了：我们现在是先用ε-δ定义了极限，然后从极限定义导数dy/dx。这里压根没有微分什么事，只不过由于历史原因我们依然把导数写成dy/dx这个样子。
那么，dx和dy这两个之前被当作无穷小量的微分的东西，现在还有意义么？
答案是有意义！
这个dx和dy还是有意义的，当然，有意义也肯定不可能再是以前无穷小量的意思了。那么，在ε-δ极限这种全新的语境下，dx和dy在新时代的意义又是什么呢？请看下图：
蓝色切线的斜率表示在P点的导数，如果我们继续用dy/dx表示导数的话，那么从图里就可以清楚的看到：dx表示在x轴的变化量，dy就刚好表示蓝色的切线在y轴的变化量。
也就是说，当自变量变化了Δx的时候，Δy表示实际的曲线的变化量，而微分dy则表示这条切线上的变化量，这就是新的语境下函数微分dy的含义。而自变量的微分dx，大家可以看到，就跟x轴的变化量Δx是一回事。
由于切线是一条直线，而直线的斜率是一定的。所以，如果我们假设这条切线的斜率为A，那么dy和Δx之间就存在这样一种线性关系：dy=A·Δx。
这些结论都可以很容易从图中看出来，但是，一个函数在某一点是否有微分是有条件的。我们这里是一条很“光滑”的曲线，所以在P点有微分dy，也就是说它在P点是可微的。但是，如果函数在P点是一个折点，一个尖尖的拐点呢？那就不行了。因为有拐点的话，你在这里根本就作不出切线来了，那还谈什么Δy和dy？
关于函数在一点是否可微是一个比较复杂（相对科普的复杂~）的问题，判断曲线（一元函数）和曲面（二元函数）的可微性条件也不太一样。直观地看，如果它们看起来是“光滑”的，那基本上就是可微的。
微分的严格定义是这样的：对于Δy是否存在着一个关于Δx为线性的无穷小A·Δx（A为常数），使它与Δy的差是较Δx更高阶的无穷小。也就是说，下面这个式子是否成立：
o(Δx)就表示Δx的高阶无穷小，从字面上理解，高阶无穷小就是比无穷小还无穷小。当Δx慢慢趋向于0的时候，o(Δx)能够比Δx以更快的速度趋向于0。比如当Δx减小为原来的1/10的时候，o(Δx)就减小到了原来的1/100，1/1000甚至更多。
如果这个式子成立，我们就说函数y=f(x)在这点是可微的，dy=A·Δx就是函数的微分。因为这是一个线性函数，所以我们说微分dy是Δy的线性主部。
这部分的内容好像确实有点乏味，莱布尼茨时代的微分dy就是一个接近0又不等于0的无穷小量，理解起来非常直观。但是，我们经过ε-δ的极限重新定义的函数的微分dy竟然变成了一个线性主部。这很不直观，定义也挺拗口的，但是这样的微积分才是现代的微积分，才是基础牢固、逻辑严密的微积分。
为了让大家对这个不怎么直观的微分概念也能有一个比较直观的概念，我们再来看一个非常简单的例子。
我们都知道半径为r的圆的面积公式是S=πr²。如果我们让半径增加Δr，那么新的圆的面积就应该写成π（r+Δr）²，那么，增加的面积ΔS就应该等于两个圆的面积之差：
大家看到没有，这个式子就跟我们上面的Δy=A·Δx+o(Δx)是一模一样的。只不过我们把x和y换成了r和S，A在这里就是2πr，这里的π（Δr）²是关于Δr的平方项，这不就是所谓的高阶（平方是2阶，Δr是1阶，2比1更高阶）无穷小o(Δx)么？
所以，它的微分ds就是2πr·Δr这一项：
它的几何意义也很清楚：这就是一个长为2πr（这刚好是圆的周长），宽为Δr的矩形的面积，好像是把这个圆“拉直”了所得的矩形的面积。
好了，微分的事情就说到这里，剩下的大家可以自己慢慢去体会。
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