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微积分的本质是什么？

微积分是一门变量学科，包含着丰富的辨证思想。恩格斯说:“有了变量，辩证法就进入了数学”，“变数的数学——其中最重要的部分微积分——本质上不外是辩证法在数学方面的运用”，通过变量、函数、极限、微分和积分等基本概念和基本方法，将辨证思想渗透到整个微积分之中，在一定条件下，使数学中直与曲、常量与变量、有限与无限、局部与整体、近似与精确、特殊与一般、离散与连续、对立与统一、量变与质变、否定与肯定等基本矛盾的对立面相互转化，是微积分中辨证思想的具体体现。

一、直与曲的思想

恩格斯曾经指出:“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定条件下直线和曲线应当是一回事，我们知道，直与曲是有严格区别的两个概念，从直观形象看，前者平直后者弯曲；从几何特征来看，前者曲率为0，后者曲率不恒为0;从代数表达式来看，前者是线性方程，后者是非线性方程；一般情况下，无论在理论的处理上还是在实际的计算上，直比曲要简单得多，然而在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即比;辩证法认为，在一定条件下，直与曲可以相互转化。

通过直认识曲是微积分中解决许多问题的一个重要思想，直与曲的转化是微积分必不可少的一个方法，微积分正是利用直与曲的矛盾转化达到了初等数学所完全不能达到的目的，微积分中有许多在曲的局部以直代曲来解决问题的典型例子。

二、常量与变量的思想

常量与变量是数学中的两个基本概念，常量是反映事物相对静止状态的量，而变量则是反映事物运动变化状态的量，这两种量的意义有着严格的区分，但是它们又是相互依存、互相渗透，在一定条件下相互转化的，在微积分的内容体系中，要充分重视常量与变量在一定条件下的相互转化关系。

三、有限与无限的思想

有限与无限是对立的统一，在微积分中，我们往往通过有限来认识无限，也通过无限来确定有限。

四、局部与整体的思想

变量变化过程中的局部与整体之间的相互对立统一的辨证关系，使得整个微积分在这对矛盾的基础上得以展开，在微积分中，通过局部的性质来揭示整体的性质，又通过整体来刻画局部，是一个经常用到的重要方法。

五、近似与精确的思想

微积分中通过先近似、再精确的转化使得问题变得比较容易解决。

六、特殊与一般的思想

从一般到特殊和从特殊到一般乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，一方面由于事物的特殊性中包含着一般性，即共性存在于个性之中;另一方面，一般概括了特殊，一般比特殊更能反映事物的本质

七、连续与离散的思想

在数学中，无论是描述相对静止状态的量，还是描述运动变化状态的量，都存在着两种情况:连续与离散，连续与离散是数学研究中的重要矛盾之一，它们既有本质的差别，又在一定的条件下互相转化。

八、对立与统一的思想

对立统一规律是唯物辩证法的实质和核心，是唯物辩证法的最基本的规律，它认为:任何事物自身都包含既相互联系又相互排斥的两个方面，也就是每一事物都是一分为二的，都分裂为两个对立的部分、方面和趋势，它们互相排斥、对立，但又互相联系，两者共处于矛盾的统一体中，数学中到处充满着矛盾，充满着各种对立面的转化，比如，数学中直线可以看成半径为无穷大的圆，半径为无穷大的圆，也可以看成直线.就是说在这种意义下，直线和圆可以互相转化或者说“直和曲”可以互相转化，类似地，平面可以看成半径为无穷大的球，半径为无穷大的球也可以看成平面，在这种意义下，两者是统一的，可以互相转化、替代。

九、量变与质变的思想

辩证唯物主义告诉我们，一切物质都是质与量的统一物质的运动、变化和发展，不仅有一定的空间形式，而且有一定的数量关系，这就是说，量是形和数的统一，数学正是以现实世界的空间形式和数量关系为研究对象的，即从量的关系方面去把握事物的质及其变化规律，事物的量变质变规律反映在数学中，一是表现为数学的质的差异;二是从量变到质变的飞跃过程。

十、否定与肯定的思想

任何事物的内在矛盾都可以归结为肯定和否定两个方面，唯物辩证法从事物肯定和否定的对立关系中，揭示了事物发展是辨证否定的过程，用发展的观点揭示和阐述科学内容的辩证实质，是马克思运用唯物辩证法研究科学问题的一种独到的思想方法，运用这种思想方法可以将科学概念、理论和方法从唯心主义、形而上学等错误哲学观点的束缚下解放出来，使其置于正确哲学思想之上。

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思维技术

小学时候我们就学过圆的面积公式

其中S是圆的面积，π是圆周率，R是圆的半径。大家还记得这个公式是怎么得到的吗？

首先，我们画一个圆，这个圆的半径为R，周长为C。我们知道，圆的周长与直径的比定义为圆周率，因此

这个公式就是圆周率π的定义，是不需要推导的。

然后，我们把圆分割成许多个小扇形，就好像一个比萨饼分割成了很多小块。再然后，我们把这些比萨饼一正一反的拼在一起，这样就形成了一个接近于长方形的图形。

可以想象，如果圆分割的越细，拼好的图形就越接近长方形。如果圆分割成无限多份，那么拼起来就是一个严格的长方形了。而且，这个长方形的面积与圆的面积是相等的。我们要求圆的面积，只需要求出这个长方形的面积就可以了。

这个长方形的宽就是圆的半径R，而长方形的长是圆周长的一半

其实，这个推导过程很简单，那就是先无限分割，再把这无限多份求和。分割就是微分，求和就是积分，这就是微积分的基本思想。

大家知道微积分是谁发明的方法吗？

其实，从古希腊时代开始，数学家们就已经利用微积分的思想处理问题了，比如阿基米德、刘徽等人，在处理与圆相关问题时都用到了这种思想，但是那时微积分还没有成为一种理论体系。直到十七世纪，由于物理学中求解运动-如天文、航海等问题越来越多，微积分的需求变得越来越迫切。于是，英国著名数学家和物理学家牛顿和德国哲学家和数学家莱布尼茨分别发明了微积分。

1665年，牛顿从剑桥大学毕业了，当时他22岁。他本来应该留校工作，但是英国突然爆发瘟疫，学校关闭了。牛顿只好回到家乡躲避瘟疫。在随后的两年里，牛顿遇到了他的苹果，发明了流数法、发现了色散，并提出了万有引力定律。

牛顿所谓的流数法，就是我们所说的微积分。但是牛顿当时并没有把它看得太重要，而只是把它作为一种很小的数学工具，是自己研究物理问题时的副产品，所以并不急于把这种方法公之于众。

十年之后，莱布尼茨了解到牛顿的数学工作，与牛顿进行了短暂的通信。在1684年，莱布尼茨作为微积分发明第一人，连续发表了两篇论文，正式提出了微积分的思想，这比牛顿提出的流数法几乎晚了20年。但是在论文中，莱布尼茨对他与牛顿之间通信的事只字未提。

牛顿愤怒了。作为欧洲科学界的学术权威，牛顿通过英国皇家科学院公开指责莱布尼茨，并删除了巨著《自然哲学的数学原理》中有关莱布尼茨的部分。莱布尼茨也毫不示弱，对牛顿反唇相讥。两个科学巨匠的争论直到二人去世依然没有结果。所以我们今天谈到微积分公式，都称之为“牛顿-莱布尼茨公式”。

他们在自己的著作中删除对手的名字时，如果知道后人总是把他们的名字放在一块写，又会作何感想呢？历史就是这么有趣。

为了让大家更了解微积分和它的应用，我们再来计算一个面积：有一个三条边为直线，一条边为曲线的木板，并且有两个直角。我们希望求出木板的面积。

为了求出这个面积，我们首先把木板放在一个坐标系内，底边与x轴重合。左右两个边分别对应着x=a和x=b两个位置，而顶边曲线满足函数y=f(x).函数的意思就是一种对应关系：每个x对应的纵坐标高度是f(x)。

如果我们把这个图形使用与y轴平行的线进行无线分割，那么每一个竖条都非常接近于一个长方形，而且长方形的宽是一小段横坐标Δx，高接近于f(x)，所以这一小条的面积就是f(x)Δx。

现在我们把无限多的小竖条求和，就是板子的面积，写作

其中a叫做下限，b叫做上限，f(x)叫做被积函数，这个表达式就是积分，表示f(x)、x=a、x=b和x轴四条线围成的图形面积。

怎么样？虽然微积分的计算比较复杂，但是明白原理还是十分简单的，对不对？

李永乐老师

今年我家孩子上大学。暑假里我给他讲了一下微积分的本质。我给自己设定的要求是没有一个公式，而且中学生都能听得懂，我是这样讲的：

求一个直角三角形的高，可以通过底长和夹角来推算，但如果三角形是一个曲边的呢？再用加角和底边儿推算就会产生很大的误差。

那该怎么办呢？不妨曲边三角形分成三段，形成三个蓝色直角三角形的，再通过它们夹角和底长推算数三个小高度，这三个小高度就叫做“微分”。

然后，将这三个微分累积起来，就叫做“积分”，这个积分就是我们所求的曲边三角形的高度。

问题来了，这三个蓝色直角三角形的高度，其实是低于实际高度的，会有一个红色的小误差。

如何将这个误差消除呢？如果分成更多段，形成更多的蓝色直角三角形，那么这个红色的误差就会快速缩小。

如果分成无穷多段，形成无穷多个蓝色直角三角形，那这个红色的小误差就会消失。

所以说微积分的本质就是：通过无穷小来求总和。

这算不算史上最容易理解的微积分科普？

先不忙夸我，这个例子及其说法是我从中国科学院林群院士那里偷学来的。

这个问答可是有院士背书啊😄请大力点赞评论和转发！

奥卡姆剃刀

积分

对于经常学习使用微积分的我来说哦，理解微积分就需要理解下面几个点：

1.无穷小：无限趋近于0的变量。将一根木棍均匀分割成无限多的小段，每一小段就是一个无限小的量。

2. 在无限小的世界里，没有曲线。所有无限小的线段都是直线。如下图所示，当需要求曲线下方与X，Y轴之间面积的时候，最容易的想法就是无线分割。如下图这样将X轴分割成7等份，整个面积被分成了7份。但是当无限分割后，阴影面积被分解成无限份，因为无限小的线段都是直线，两个曲线上无限接近的点的连线可以看做即平行于X轴，也平行于Y轴（比较抽象）。

所以阴影面积就是无穷多个矩形面积的和。

这个是积分：无线分割然后求和的过程。

正弦函数曲线面积

微分

微分的几何意义可以看做求曲线上任一点的切线斜率。

微积分的应用

这还是很多例子中的一个，活学活用才能体会到微积分的强大。

逃学博士

微积分就是微分和积分，微分和积分都是研究函数的，函数是用来描述变量之间的变化关系的数学工具。

从微观的角度研究函数就是微分，从整体的角度去研究函数就是积分。 微分是函数在某点的瞬时变化率，积分是函数在整个区间上每一点效果的总和。一个从局部研究函数，一个从整体研究函数，那么这二者有什么关系呢？

微积分之所以叫微积分，而不是微分和积分就在于通过牛顿莱布尼兹公式将此二者的联系了起来。牛顿莱布尼茨公式非常重要，可以说是微积分的核心

这个定理有两个形式，一个是变上限函数的形式（微分形式丿，一个是定积分的形式（不定积分的形式）。

八哥兔侃数学Bin

微积分的本质可以从物理上求速度和位移来说明！

首先，说微分。没有这个概念以前，高中物理最多敢讲授匀变速运动。唯一涉及到变加速运动还是在功里面，通过汽车加速过程中，通过不断增加档位，减小牵引力，提高速度，最终达到匀速。大学里面解决这一问题就简单了，我们可以假设如上图的，如果

t2—t1无限趋紧于0，则这时：

v＝ds／dt，即由上图的平均速度变成了瞬时速度，这就是求位移对时间的导数。可见，小伙伴再也不是只能计算匀速、匀变速运动了，任何运动都可以用导数来计算。总结来说，就是微分就是如果我们将复杂的变加速运动速度，分割成很多的极短时间的匀速运动，就可以计算出物体各个时刻的速度了。

其次说积分。没有积分以前，我们也只能通过运动学公式计算匀速或者匀变速物体的位移。而有了积分我们面对变速运动也可以通过计算每一段不同速度的位移再加起来就可以了。如上图所示，只要我们把每一段的时间的位移进行叠加，就可以近似得到总的位移。分的时间段越小，最后叠加以后就越接近真实的位移。因此，变速运动的位移也就通过积分得到解决了！

总之，微积分的出现使人类认识世界和改造世界的能力大大提高！

地震博士

答：个人理解，站在哲学的角度：微积分的本质是量变到质变的统一。

比如我们求阴影部分A的面积，由于A的大小是由曲线y=x^2决定，而y=x^2的曲线又由无数个点组成，这些点就决定了面积A的大小。

可是点和面积有着本质的区别，两者却有着即分离又统一的联系，而联系两者的正是微积分。

从微分到积分，就是量变到质变的过程，居然有着如此完美的关联，实在是妙不可言。

更让人惊讶的是，这种联系居然可以用人类数学语言来描述。

如果我们站在不同的角度，会得到不同的答案，也会有不同的理解，站在纯数学的角度：微积分就是把函数作为研究对象，发展起来的一套自洽的运算法则，其目的是研究函数的变化趋势。

这样或许更好理解些，加、减、乘、除可以把数字作为研究对象，我们的微积分就是把函数作为研究对象，本质说来微积分就是比加减乘除更高级的运算法则。

以上回答纯属个人理解，仅作参考！

好啦！我的答案就到这里呢，喜欢我们答案的读者朋友，欢迎点击关注我们！

艾伯史密斯

简明扼要的分享。微积分的任务是：用极限方法计算与曲线相关的问题。例如：计算曲线的斜率，计算曲边形的面积。

典型的极限公式：当x→0, lim sinx/x=1, 其中，x是弧度兼弧长。意思是说，在一个单位圆上，弧长x越短，纵轴投影长sinx就越接近x。

当x=π/2=1.57，sinπ/2=1，sinx/x=0.64。

当x=π/6=0.52，sinπ/6=0.5，sinx/x=0.96。

当x→0, 即x≈0，sinx/x=1，即sinx=x。

这相当于，当等腰直角三角形的斜边足够小时，该三角形就视同一个等边三角形。

原来的曲线就逼近了直线。这就是用极限方法“变曲为直”的微积分思维的本质。

好了，本答stop here。请关注物理新视野，共同切磋物理逻辑与中英双语的疑难问题。

物理新视野

微积分是建立在两个概念上的：

第一，变量的概念；第二，变量极限的概念。

可以说没有第一个概念就没有第二个概念，没有第二个概念就没有微积分。

牛顿的流数法产生于求曲线的切线斜率问题，即曲线在某一点切线斜率问题：dy/dx=k

只有当dy 与dx 都趋近于零时，比值才是切线在某点的真正斜率。但当增量dx 为零时，分母为零是数学上所不允许的。因此，牛顿说，增量dx 趋于无穷小时（无穷小量不为零），比值就为切线的斜率。

这引起了牛顿的教父本特利牧师的极大不满，说无穷小量是失去灵魂的鬼魂，因此断定微积分没有任何合理的内容。第二次数学危机，也就是微积分危机，就是这样产生的。

直到哥西依据严格的实数理论建立了完整的极限理论，才解决了这个问题。

牛顿要解决的曲线的切线斜率问题，是牛顿的老师巴罗首先提出来的，所以说巴罗也是微积分的创始人之一。

在大洋彼岸的德国，莱布尼茨独立地发现了与牛顿相同的新的数学方法，并创立了一套完整的符号。所以，我们至今沿用的微分与积分的符号，都是莱布尼茨创立的。

如果进一步追溯，微积分的思想早在远古就有萌芽。例如，中国古代数学家刘维的割圆术，就是微分法，由割圆再求和就是积分求和，可以看作是最早的定积分。

经济相对论580

一、早期的微积分的思想

17世纪，微积分成为一门学科，但微积分的思想很早就产生了。

公元前七世纪，古希腊的泰勒斯就对球的面积、体积与长度等问题进行研究。

公元前三世纪，阿基米德写出著作著作《圆的测量》《论球与圆柱》。

三国时期刘徽，利用割圆术计算圆周率，通过牟合方盖计算球的体积。

上面的这些例子都蕴涵了微积分的思想。

二、微积分的产生

到了17世纪，有好多科学问题需要解决，促使微积分产生并逐渐成为一门学科，归结起来有以下四类问题。

1、求即时速度的问题。

2、求曲线的切线问题。

3、函数的最值与极值问题。

4、求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积及物体的重心。

微积分的创立者一般认为是牛顿和莱布尼茨，下面这个公式被称为牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此微积分早期也被称为无穷小分析。牛顿研究微积分，侧重于从运动学来考虑。牛顿在1671年写了《流数术和无穷级数》。书中指出，变量是点、线、面的运动产生的。连续变量叫做流动量，这些流动量的导数叫做流数。牛顿在《流数术》中的中心问题是已知连续运动的路程，求给定的时刻的速度；已知运动的速度，求给定时间内经过的路程。

莱布尼茨侧重于几何学来考虑。莱布尼茨在1684年发表了《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》，这篇文章被认为是最早的微积分文献。现在微积分中通用的符号就是莱布尼茨创建的。

三、第二次数学危机

在微积分广泛应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越凸显出来。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此直接引发第二次数学危机。

直到19世纪20年代。一些数学家才比较关注微积分的严格基础。从波尔查诺，阿贝尔，柯西、狄里赫利等人的工作开始，直到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束。中间经历了50多年。基本上解决了矛盾，建立了公理化体系，为数学分析奠定了严格的基础。

關鍵字: 数学 本质 辨证