什麼是證明？ 哲學家已經爭論近一個世紀之久。如何去證明？無可置疑的是他們會繼續質疑下去。另一方面，數學家很久以來也使用證明的運用來提高數學認知。
在這個問題的開始，想要先來看一系列文章來介紹一些證明背後的基本思想和邏輯推理，看現實中證明在數學中的重要性。
在這篇文章當中，我們必須先簡單介紹演繹推理，再來看一下一些早期的數學證明的例子。
演繹推理
假設一些事實或者前提是正確的。演繹推理是拓展一系列事實很重要的一個方法。在演繹推理中，我們假設一些前提是已知條件P，然後得到一個結論C。例如，假設前提：
P：所有的人都是凡人。
P：蘇格拉底是一個人。
得出結論
C：蘇格拉底是凡人。
這就是演繹推理。 在這種情況下，演繹步驟是基於邏輯原理，如果A預示著B，A是真的，那麼B是真的 ，這是一箇中世紀邏輯學家稱為 modus ponens（模態的原則）。
當然，演繹推理不是絕對可靠的：前提可能不是真的，或者推理本身是錯誤的！這時候你“證明”的東西，實際上不是真的。 比如說“證明”1 = 2的方式。 這裡是一個老話題：
假如a=b，
因此，
a2=ab
a2+a2=a2+ab
2a2-2ab=a2+ab-2ab
2a2-2ab=a2-ab
提取括號：
2（a2-ab）=1（a2-ab）
兩邊除以 a2-ab，我們因此可以得到：
2=1
你能看出這個證明過程中的錯誤嗎？
現在，假設這個結論不是從前提推理來的，那麼這個證明被稱為無效。無論前提是否正確。
如果論證是有效的，但前提不是真的，那麼同樣結論可能是真的，也可能不是真的，但是論證不能幫助我們決定這一點。
思考題：你能找到上圖的問題嗎？
如果證明是有效的，並且前提是正確的，這個證明才是合理的。從實際的角度來看，如果我們能找到一個合理的論據，我們可以說是證明了一些東西。
表1總結了這些不同類型的演繹推理證明情況，表2提供了每種情況的示例。
正如表2中的兩個無效論證所表明的，無效證明的結論不一定是假的 - 它只是在特定的論證中沒有被正確的證明。
開始於：歐幾里得幾何
歐幾里得誕生於公元前365年在埃及亞歷山大。並在公元前300年去世。 很少知道他的生活，除了他在亞歷山大教數學。Euclid寫了一些論文，但最有名的是他的Elements ，已經被用做幾何教科書超過2000年！ Elements代表了數學史上證明的最早使用之一。
在他的Elements中 ，Euclid列出了二十三個定義，描述點，線，平面，圓，鈍角和銳角等。Euclid的定義既不是真的也不是假的：它們只是作為一種字典，解釋他將使用的各種術語的含義。
然後他提出一組十個假設。其中五個不是幾何特有的，他稱之為常見的概念 ：
1. 等量間彼此相等
2. 等量加等量和相等
3. 等量減等量差相等
4. 完全重合的東西是相等的
5. 整體大於部分
其他五個假設是幾何的，他稱之為公設 ：
1. 任意兩個點可以通過一條直線連接。
2. 任意線段能無限延伸成一條直線。
3. 給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。
4. 所有直角都全等。
5. 若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。
這些共同的公理和公設代表歐幾里德幾何的公理。 公理是一個邏輯原則，它被認為是真實的而不是被證實的，並且可以在演繹論證中被用作前提。
歐幾里德的公理集或公理系統代表了“第一原則”的集合，從中可以使用演繹推理來產生其他原則。 當然，任何演繹論據只有在Euclid的常見概念和公設真的是真實的時候才是正確的！
命題證明的一個例子
Euclid在他的Elements中展示了各種幾何命題，並且在他的公理系統中使用演繹推理表明它們是真實的。
一個例子是命題6：“如果在三角形中兩個角度彼此相等，相等的角所對應的邊也相等。
Euclid的這個命題的實際論證如下：
上圖：歐幾里德的命題6。
△ABC， 假設∠ABC=∠ACB，證明AB等於邊AC。
證明： 若AB≠AC, 不妨設 AB＞AC
在AB 上截取一段BD 等於較小的AC,
鏈接DC,
由 DB=AC, BC=CB, ∠DBC=∠ACB
可知 △DBC等於△ACB,
即部分等於整體，矛盾。
因此AB等於AC。（反證法）
歐幾里得的命題是正確的嗎
歐幾里德時代的希臘人和後來的阿拉伯數學家都有一個直覺，第五個公設實際上可以使用常見的概念和前四個公設來證明。
事實上，第五個公設不是從其他公設和概念推導出來的，也不是普遍真實的。 數學家對數世紀以來的第五個公設繼續著迷，但直到十九世紀和二十世紀（通過許多著名數學家的努力，包括Legendre ， Gauss ， Bolyai ， Lobachevsky ， Riemann ， Beltrami和Klein ），我們瞭解了非歐幾何之後，知道第五個公設不是真的。
空間簡史之黎曼幾何
第五個假設可以在平面 （或歐幾里德 ）幾何中顯示為真。 然而，有許多其他幾何，它是不是真的。 令人驚訝的是，這很容易說明！ 考慮球體表面的簡單情況。芽編有在前面的羅氏幾何和黎曼幾何中解釋過。
第五個公設的失敗的後果之一是，三角形的角度之和總是180度不再是真的。
思考題：事實上，有一個著名的橫向思維謎語，隱含地依賴於非歐幾里德幾何：
一天早晨獵人離開他的房子，向南走一英里。 然後向西走了一英里，打了一頭熊，然後向北走了一英里，然後回來他的房子。問熊的顏色？
歐幾里得和它的邏輯推理
歐式幾何，還有後來非歐幾何的發現，表明了使用公理作為證明基礎進行演繹推理的優勢和缺陷。
使用歐幾里得的定義，常見概念和公設作為推理基礎，能夠產生一些重要的幾何命題的演繹證明。 他的公理和證明是許多後來幾代數學家的有用的工具集，並顯示演繹推理是如何的強大和有用。
然而，發現非歐幾里得幾何的漫長和痛苦的過程已經顯示了在公理系統中演繹推理的侷限性。在歐幾里得平面中，歐幾里德的第五個公設是真實的，他的有效證明是正確的。 然而，在非歐幾里德幾何形狀（例如球體的表面）中，第五個公設不是真的，因此歐幾里德的證明是不健全的。
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