數學的功能分為：
（
1）思維能力的培養（2）應用能力（包括計算）的培養
（3）審美能力的培養。
歷史上，西方將數學歸類在哲學範疇，中國則將數學歸類為技術範疇，分類的不同體現了數學認識上的差別，也決定了教育方式上的差別。美國中小學教育往往比較注重學生個性的張揚與興趣的培養，喜歡就學，不喜歡可以不學，不會因為學不好而為未來的生存擔憂，他們的數學教育對技巧與細節也許不那麼關心。同時，美國也給熱愛學習的學生提供了最優質的教育。中國的教育則過於注重技巧與細節，而對於知識的趣味性及內涵的思想則不那麼關心，中國參加數學競賽中的佼佼者最後有很多厭惡了數學甚至放棄了數學。
數學的有用體現在兩個方面：
（1）科學的思維方法
（2）自然科學與現實生活中的應用
我們需要教什麼樣的數學？簡而言之：教有用的數學！什麼是有用的數學？知識本身無所謂有用和無用，學習者會用，知識對於他就是有用的，學習者不會用，知識對於他就無用的。有人人認為，能解決實際問題的數學就是有用的數學，能解決實際問題的數學就是有用的數學，能解決實際的數學固然是有用的，但這遠遠不是有用數學的全部，甚至不是數學最重要的部分。
眾所周知，數學是一門思維科學，屬於哲學範疇，換句話說，它教給我們的是思考問題，解決問題的方法。大自然的神秘面紗遠遠沒有被人類完全揭開，數學方法無疑是瞭解大自然必不可少的重要手段，可以說，沒有數學，人類將無法真正認識並瞭解自然。面對神秘莫測的大自然，不僅現在有的數學工具是不夠的，即使是已有的數學工具，也遠遠沒有弄清楚到底哪個有用，哪個沒有用。正由於此，人們並不清楚很多現代數學與自然數學之間到底與偶沒有關係，或者說，如今的數學對於自然數學到底有沒有用？
數學的之美如同數學思想一樣被堙沒在書本中，學生從書本上看是看不到，老師的任務就是要挖掘隱藏在書本知識背後的思想與美麗並展現給學生。一個精彩的課堂，其結構，形式以及教師的機智都可以散發出數學美的光芒。生於公元410年的希臘數學家普羅克羅斯對數學有過這樣一番富有詩意的評論：
數學就是這樣一種東西：
她提醒你有無形的靈魂；
她賦予她所發現的真理以生命；
她喚起心神，啟迪智慧；
她給我們的內心思想添輝；
她滌除我們有生以來的矇昧與無知。
這段話既是對“數學是什麼”的回答，也是對“數學有沒有用”的回答。
換句話說：問題是數學的核心！是驅動數學發展的原動力。沒有問題，既不可能有自然科學，也不可能有數學。全部數學的歷史是不斷髮現問題與解決問題的歷史。
希爾伯特講過這樣一句話：“一門學科如果能不斷提出問題，那它就充滿活力”。這就給我們提出了一個問題：數學教育的本質是什麼？弗賴登塔認為u：數學教育是數學的“再創造”。既然數學教育是數學的再創造，數學教育自然離不開問題。具體來說，所謂數學教育即帶領學生重走一遍數學發現之路，在發現的過程中構建數學的知識體系。
數學教育的本質在於通過數學學習為學生構建數學知識體系，從而使學生具備3個方面的能力：
（1）善於用數學的眼光觀察問題；
（2）善於用數學的頭腦思考問題；
（3）善於用數學的方法解決問題；
數學再創造存在三個方面的難度：
（1）並非所有的概念與原理都可以還原它們真實的歷史，需要老師通過合情推理，模擬起產生與發展的過程，沒有研究經驗的積累是做不到的。
（2）數學家的認知能力與學生的認知能力是不同的，課堂教學需要將數學家的認知過程轉換成學生可以接受的認知過程，同樣需要研究經驗的積累。
（3）如何針對具體內容設置恰當的問題情景引發學生思考？沒有相當的數學素養和眼界也是做不到的。
教學中應該注意3個方面的問題：
（1）有些教材中有不少問題情境是偽情境或者不符合學生的實際生活體驗，所以課堂教學不能拘泥於教材。
（2）對一個問題的分析過程往往蘊含著許多思辨因素，所以教學中應該注重數學思辨。
（3）增強課堂的彈性。
數學課堂的靈魂是什麼？
傳統的數學注重的是知識傳授與技巧的培訓，忽略了一個更重要的東西---思想，缺少思想的教育不是教育，而是知識與技能培訓。很多人認為，學生掌握了某門課程的知識，會運用這些知識去解決一些問題就足夠了，在我看來，這只是低層面上的要求。
知識不是終極目標，它也是一種載體，承載著幾十年甚至於千百年來的人的智慧，這就是思想，換句話說，知識是思想的載體。
老師的任務是什麼？透過書本挖掘隱藏在知識背後的思想並展現給學生，這才是真正的教育，知識遲早都會遺忘，留下來的才教育、是思想。過去我們往往注重於教學的細節，從板書，語言表達，儀態到內容的組織，都講究一板一眼，恰恰忽略或淡化了思想性。學生從中學到了很多知識，但這些知識都是僵化的，缺少鮮活的靈魂，學生不僅失去了學習的熱情，也不知道所學何用，在學生看來，學習的目的是畢業，升學或找工作，至於這些知識與他們日後的生活和工作有什麼關係則一無所知。
數學課堂的靈魂是什麼？是思想，換句話說，數學教學過程應該是傳授思想的過程。思想是通過什麼來展現的？是問題，也就是說，數學課堂應該圍繞這問題展開。數學的發展是個發現問題，分析問題，解決問題的過程，老師的任務是則是借研究經驗，通過合情推理迴歸這個過程。
從事科學研究的人都知道，首先需要選擇適當的課題，你要清楚為什麼選擇某個課題？你想解決什麼問題？如果你連這些問題都搞不清楚，你的選題必定是盲目的，前景如何就可想而知了。當你選擇了一個課題，你需要根據你鎖定的問題採用你所能想到的方法和手段去分析，演繹，最終得到你想要的結果。結果也許與你最初的設想有出入，但科學在於探索，如果結果是以至的，也就不成為探索了。
數學研究中有兩個能力是必須的：
（1）直覺
（2）邏輯演繹與計算能力。
直覺依賴於我們的科學素養于敏銳的“嗅覺
，外爾在評價希爾伯特時曾說過這樣的話：”他就像一條嗅覺靈敏的狗，能夠敏銳地發現哪裡有骨頭並奮不顧身地猛撲上去。“很難想象，一個人如果沒有了直覺，她能夠從紛繁複雜的現象中發現有規律性的東西。
- 邏輯演繹與計算能力是一個人的基本功，沒有很強的推演與計算能力，即使有好的設想也變不成結果，永遠只能停留在猜想上，直覺可以幫助我們“大膽猜測”，演繹與計算能力可以幫助我們“小心求證”。
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