【問題的歷史背景】
費馬（Pierre De Fermat )是法國數學家，1601年8月17日出生於法國南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅·費馬曾提出關於三角形的一個有趣問題：在三角形所在平面上，求作一點P，使該點到三角形三個頂點距離之和最小．後來人們稱這個點為“費馬點”.
【數學定義】
費馬點是指位於三角形內且到三角形三個頂點的距離之和最短的點.
1、若三角形的三個內角均小於120°，那麼三條距離連線（下圖的PA、PB、PC）正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為120°（即∠APB=∠APC=∠BPC=120°），所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心.
2、若三角形有一個內角大於或等於120°，則此鈍角的頂點就是距離和最小的點.
【數學問題】
引例：有甲、乙、個丙三個村莊，要在中間建一供水站向三個村莊送水，現要確定供水站的位置以使所需管道的總長最小？將此問題用數學模型抽象出來即為：
如圖，在△ABC內求作一點P，使P到三個頂點的距離之和PA+PB+PC最小.
【問題解決】
如圖，分別以AB、AC為邊向外側作等邊三角形ABD、ACE，連結CD、BE交於一點，則該點即為所求的P點（即費馬點）.
【問題證明】如圖，
在△AEB和△ACD中，
∵AB=AD，AE=AC，
∠BAE=∠DAC=∠BAC＋60°，
∴△ABE≌△ACD.
∴∠ABE=∠ADC，
在△BPM和△DAM中，
∵∠BMP=∠DMA，
∴∠BPM=∠DAM=60°，
∴∠BPC=120°
如圖，在PD上截取PG=PB，連結PA、BG，則△BPG是等邊三角形，所以PB=PG.
易證△ABP≌△DBG，
∴PA=GD，∠APB=∠DGB=120°，
∴∠APC=120°，
∴PA+PB+PC=GD+PG+PC=CD.
【為什麼CD為最短的線段】
如圖，在△ABC中任取一個異於P的點Q ,連結QA、QB、QC、QD，將△ABQ繞著點A順時針方向旋轉60°，得到△ADQ'，則△ABQ與△ADQ'重合，且Q'在線段DQ上或在DQ外，易得△AQQ'是等邊三角形.
∴QA+QB=QQ'+DQ'≥QD,
∴QA+QB+QC≥QD+QC＞DC，
即CD為最短的線段.
以上是簡單的費馬點問題，將此問題外推到四點，可驗證：
四邊形的對角線連線的交點即是所求的點.
【模型實例】
例題、（2019年龍巖市質檢第16題）如圖，△ABC中，∠ABC=30°，AB=4，BC=5，P是△ABC 內部的任意一點，連結PA，PB，PC，則PA+PB+PC的最小值為 ？ ．
【解析】如圖，將△ABP繞著點B逆時針旋轉60°，得到△DBE，連結EP、AD、CD，
∴△ABP≌△DBE，
∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝∠ABD＝60°，BE＝PE，AP＝DE，
∴△BPE是等邊三角形，
∴EP＝BP，
∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE≥CD，
∴當點D、E、P、C四點共線時，PA+PB+PC有最小值CD，
∵∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝90°，
∴PA+PB+PC有最小值=CD=根號41
【牛刀小試】
1．（2015年秋季安溪縣期末考試八（上）數學試題最後一題）
如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連結EN、AM、CM．
（1）填空：若正方形ABCD的邊長為1，則AM+CM的最小值為 ；
（2）求證：EN=AM；
（3）當M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，並說明理由．
2．（2019年春季南安市期末考試八（下）數學試題最後一題）
已知：AC是菱形ABCD的對角線，且AC＝BC．
（1）如圖①，點P是△ABC內的一個動點，將△ABP繞著點B旋轉得到△CBE．
①求證：△PBE是等邊三角形；
②若BC＝5，CE＝4，PC＝3，求∠PCE的度數；
（2）連結BD交AC於點O，點E在OD上且DE＝3，AD＝4，點G是△ADE內的一個動點如圖②，連結AG、EG、DG，求AG＋EG＋DG的最小值．
【答案】
1、（1）根號2
（2）證明△BEN≌△BAM
（3）當點M為EC與BD的交點時，AM+BM+CM的值最小.
2、（1）①證明：略
②∠PCE＝30°
（2）5
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