演講者:丘成桐院士
時間:民國107年12月27日
地點: ICCM 2018,集思臺大會議中心
總論
數學大概是科學中最古老的學門, 也是所有科學的基礎。數學這門學問已經發展了數千年, 其中有兩個始終未改變的要素： 「數」與「形」, 也就是理解整數結構及物體形狀, 這兩者始終是數學家最熱衷的研究課題。
幾何學是科學的一部分, 完全致力於理解物體的形狀。茲描述它對科學的貢獻如下。
古希臘的貢獻、牛頓力學
上面提到數及幾何, 這兩個主題實際上是密切相關的。
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更重要的是, 畢達哥拉斯的某門徒發現： 若直角三角形的兩個直角邊的長度都等於1, 則斜邊的長度不能寫成兩個整數的比。這震驚了整個學派, 因為他們認為宇宙中的一切事物都可用整數來解釋。這是幾何首次揭示數字結構, 也是數學家首次經由幾何擴張數系規模。
簡單公理足以推導出極其複雜的物理現象, 這一事實全然符合希臘與西方文化的預期(但對中國人、 印度人、 埃及人和巴比倫人來說則屬陌生)。它代表了唯有人類才能夠發展的高水平文明。
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微積分與笛卡兒座標
牛頓結合微分與積分, 根據平方反比定律計算行星運動。他成功解釋了著名的克卜勒行星運動定律。微積分的巨大成功, 確立了它在科學中的地位。
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黎曼
但幾何學最引人注目的發展是黎曼的就職演講論文及他的黎曼面理論。它們都以非常內在的方式影響了我們對自然界的理解。
黎曼之前的空間概念, 幾乎都取決於直角座標的固定性。牛頓視空間為靜態的部分緣由, 是他認為萬事萬物都必須藉由宇宙的內在座標系來度量。我相信, 如果他知道黎曼引入的幾何思想, 可能就會有不同的想法。
人們疏於細究黎曼1854 年的著名演講。他有興趣發展的空間概念, 要能夠理解現實世界的物理本質。他已憂心自己的幾何力有未逮, 不足以處理至小及極大尺度的宇宙。
以現代術語來說, 他對量子幾何的概念感興趣。他想知道： 使用非二次方程來量度極大的宇宙的同時, 是否該用離散幾何測量極小的尺度。他的主張仍饒富趣味。
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高斯的Theorem Egregium
曲率張量的內在(intrinsic) 定義可回溯至高斯。1827 年, 高斯發表Theorem Egregium (「最好定理」), 名稱源於他對自己的定理甚感興奮。吾人若在三維歐氏空間計算曲面兩個主曲率的乘積, 所得之值稱為高斯曲率, 是由曲面上的距離度量所完全決定； 換言之, 它與曲面具體嵌入三維空間的方式無關。
要理解這個概念, 我們可審視懸鏈面(catenoid) 和螺面(helicoid)。它們的外觀非常不同, 但它們可經由連續過程形變為彼此, 過程中不會產生皺摺或撕裂, 因此不會出現額外的壓縮或剪切。高斯曲率在這種變形下保持下變(見下圖)。
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再談黎曼
黎曼創建的, 實際上是一種包含等效原理概念的幾何學。他的空間不依賴單一的直角座標, 也更加動態。這確實突破了牛頓對空間的舊觀點。為了充分理解等價原理的概念, 黎曼發展了張量的基本工具, 特別是黎曼曲率張量。
諷刺的是, 歷史上關於黎曼曲率的首篇出版品, 是1861 年黎曼提交給巴黎科學院, 爭取某獎項而未果的論文。在那篇文章中, 他用黎曼曲率來檢測熱傳導的模式。
重點是, 黎曼曲率張量僅取決於度量張量。黎曼的論文創建了內在幾何的新概念, 獨立於任何大域靜態的笛卡兒系統。
張量分析
1903 年, Ricci 提出張量縮約(tensor contraction)的主張, 取黎曼曲率張量的跡(trace)以形成一個二階張量, 現稱Ricci 張量。
廣義相對論、三談黎曼
這些工作為愛因斯坦的廣義相對論奠定了最重要的基礎。如果沒有這些幾何學者及Marcel Grossmann (1878-1936)的基礎工作, 很難想像廣義相對論要如何創立。
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在推導愛因斯坦方程的較後階段, 進一步縮約Ricci 張量所得的純量曲率, 恰好正確地量度了物質分佈。這意味著完整的黎曼曲率張量, 測量了時空的完整重力內容。
規範理論、 額外維度理論、 Calabi-Yau 空間
除此之外, Kaluza 對大自然的理論模型做出非常重要的貢獻(Klein 後來參與研究, 該理論現稱Kaluza-Klein 理論)。Kaluza 是一位數學家。他在平坦的Minkowski 四維時空上添加圓, 從而提出第一個五維相對論。他發現： 藉由愛因斯坦方程在此五維時空的真空解, 可獲致有效的四維時空理論, 耦合重力與Maxwell 方程。這是令愛因斯坦十分興奮的傑出成果。唯一的問題是, 它會產生一個無法在自然界觀察到的純量場(scalar field)。儘管如此, 拓樸及額外維度的思想, 是當代物理極為基本的論題。
弦論(string theory) 的發展顯示, 量子化的重力理論可能產生異常, 唯當時空的總維數為10 時, 異常才會消失。從這個意義上來說, 額外維度理論乃勢所必然。
時空基態的超對稱模型, 是在真空Minkowski 時空上外加六維Calabi-Yau 空間。其中六維Calabi-Yau 空間的尺度非常微小, 迄今創建的最強大機器也檢測不到它, 但它的拓樸及幾何特性可用來計算質量及基本粒子的相互作用。在物理和數學領域進行的弦論研究, 引發了許多重要的工作。
對偶性
在弦論的進展中, 出現一些出人意表但十分重要的對偶性概念, 統一了諸多看似相異的主題。弦論中的對偶性是概括性的概念, 允許我們執行一些以前束手無策的重要計算。這包括大直徑空間與小尺寸空間之間的對偶性。
重力理論與規範理論之間的對偶性, 創建出非常重要的科學思想。它對凝聚態物理學來說也十分重要。
值譜(Spectra)
量子力學是一門以高精確度描述大自然的學科。量子物理非常重要的一項工具是算子值譜。值譜的概念是數學家在19 世紀發展出的, 事實上可回溯至古希臘哲學家。畢達哥拉斯學派辨識出聲波中的基音。撥動端點固定的弦時, 可實際產生這些基音。
等周界常數、圖論
我們要在所有可能的封閉曲線中最小化這個量。這種形式的常數, 源自對等周不等式的考量； 二十世紀初, 數學家用該不等式估計封閉曲面的第一個非零頻率, 如今稱之為Cheeger 常數。該常數已被推廣至圖論； 在圖論, 我們希望找到優質的幾何裁切線, 分割後訊息得以有效地穿越裁切線。
再談值譜
在量子物理及任何與波動相關的課題中, 值譜及波的行為該如何理解, 始終是至關緊要的問題。有個植基於幾何考量的重要方法。
四十年前, 我提出的一個簡單的問題, 引發了眾人對該領域的巨大興趣。該問題是： 取某個基波的節點集(nodal set, 波在該集合中的各點都靜止不動); 該集合的長度、 波的特徵值的平方根, 兩者數量級應相同。事實上, 我們想了解的是： 將節點線(nodal lines) 的長度除以特徵值的平方根, 所得的商如何分佈。
量子穿隧(Quantum Tunneling)、三談值譜
另一個有趣的問題涉及量子穿隧： 粒子從一個量子阱(quantum well) 遊走到另一個量子阱, 需時多久？它關乎Schrödinger算子的首兩個特徵值的間隙。要做數值計算很困難, 因為間隙之窄小屬指數級。對波函數做幾何考量有助於估計這種間隙。
電腦科學、再談圖論
在當代電腦科學, 幾何概念大多有其顯著的重要性。除了之前提到的概念, 圖論也存在等周界不等式和Harnack 不等式的類似概念。當代圖論使用了大量的幾何概念。
在一般圖上, 有一個自然定義的算子, 作用於定義在頂點上的函數空間, 擔當的角色類似於平滑流形上的Laplace 算子。該算子的值譜不難計算, 但它揭露了圖的大量訊息。圖論中有個概念類似於定義在流形上的Green 函數, 出現在Larry Page 的公式中, 用於Google 搜索引擎。
160 多年前, 黎曼在博士論文中引入黎曼面的概念, 其目的是研究複函數的單值化(uniformization), 日後卻成為研究曲面幾何的至要工具。顧險峰和我把單值化的想法應用於電腦影像的問題。它對許多工程問題很有用, 譬如人臉辨識。
球面幾何歐氏幾何雙曲幾何
紋理映射(texture mapping)
援用幾何來輔助電腦圖學的想法已廣受青睞。雷樂銘、 林文偉、 樂美亨等人把它應用於人臉辨識、 醫學影像及其他課題。Stanley Osher 和他的團隊使用水平集方法, 取得了非常好的結果。
面部表情捕捉
大腦造影(brain mapping)
基於幾何方法的生成模型(generative model) 生成的隨機面部圖像
深度學習(deep learning) 方法執行流形嵌入及機率測度變換。機率測度變換可用最優傳輸映射(optimal mass transportation map) 來進行, 這相當於微分幾何中的Minkowski-Alexandrov 定理, 可以陳述為Monge-Ampère 方程。
---演講者丘成桐為哈佛大學講座教授---
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