一级运算包括加法和减法。
加法a+b=c，由此推出逆运算，减法c-a=b和减c-b=a。
也可以把减法看做加法，即c+(-a)=b和c+(-b)=a。
二级运算包括乘方和除法。
乘方a×b=c，由此推出逆运算，除法c÷a=b和除法c÷b=a。
也可以把除法看做乘法，即c×(1/a)=b和c×(1/b)=a。
三级运算包括乘方、对数和开方。
乘方a^b=c，由此推出两种逆运算，开方(b√)c=a和对数log(a)c=b。
b√表示b次根号，(b√)c就表示对c开b次方。
log(a)表示以a为底的对数，log(a)c就表示以a为底c的对数。
也可以把开方看做乘方，即c^(1/b)=a，但是对数不行，三级运算不满足交换律。
乘方的塔式结构表示法和对数的log表示法有两个弊端，一是电脑书写困难，二是与加减乘除相比有点混乱，不妨再发明两种简便的符号呢。
高德纳 高德纳1938年出生于 威斯康辛州密歇根湖畔
高德纳于1976年设计出高德纳箭号表示法，不仅在表示乘方时简化了乘方的塔式表示，还可以表示三级以上的运算。
乘方用高德纳箭头表示为a b=c。
高德纳箭头运算的意义
给对数也发明一个符号log，不妨用，c a表示以a为底c的对数。
给开方也发明一个符号，不妨用Ж，c Ж b=a表示c的b次开方等于a。
这样显得整齐对称。
数学符号的发明及使用比数字要晚，其数量比数字还多。
数学符号适应数学的抽象与形式化的特点。实质是人类理性思维与抽象思维的产物。
加号曾经有好几种，现代数学通用“+”号。“+”号是由拉文“et”（“和”的意思）演变而来的。十六世纪，意大利科学家塔塔里亚用意大利文“plu”（“加”的意思）的第一个字母p表示加，最后变成了“+”号。“-”号是从拉丁文“minus”（“减”的意思）演变来的，一开始简写为m，再因快速书写而简化为“-”了。
卖酒的商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多少。以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“-”上加一竖，意思是把原线条勾销，这样就成了个“+”号。
到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：“+”用作加号，“-”用作减号。
乘号曾经用过十几种，现代数学通用两种。一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是“·”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。德国数学家莱布尼茨认为：“×”号像拉丁字母“X”，可能引起混淆而加以反对，并赞成用“·”号（事实上点乘在某些情况下亦易与小数点相混淆）。后来他还提出用“∩“表示相乘。这个符号在现代已应用到集合论中了。
到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把“×”作为乘号。他认为“×”是“+”的旋转变形，是另一种表示增加的符号。
“÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。直到1631年英国数学家奥屈特用“：”表示除或比，另外有人用“－”（除线）表示除。后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将“÷”作为除号。
平方根号曾经用拉丁文“Radix”（根）的首尾两个字母合并起来表示，十七世纪初叶，法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中，第一次用“√”表示根号。“√”是由拉丁字线“r”的变形，“￣”是括线。
十六世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别。可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：用两条平行而又相等的直线来表示两数相等是最合适不过的了，于是等于符号“=”就从1540年开始使用起来。
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