談起數學時，你的腦海中會浮現出什麼？是複雜的幾何形狀、繁瑣的數值運算、難解的方程、未解的猜想，還是…….？在面對什麼是數學這個問題上，我們儘量保持比較廣的定義，它包括所有數量、幾何和邏輯相關的領域。或許一個最直觀的定義是——數學是數學家所從事的研究領域。
那麼，數學家究竟都在研究什麼呢？或者說數學是由哪些部分組成的？傳統上，我們可以將數學分為兩大類：研究數學本身的純數學和應用於解決現實問題的應用數學。但是這種分類法並不十分清晰，許多領域起初是按照純數學發展的，但後來卻發現了意想不到的應用。許多領域之間也有著非常緊密的關係，因此，如果要精確地為數學分類的話，應該是一個複雜的網絡。
而在本文中，我們將會帶領讀者簡單地瞭解數學的五大部分：數學基礎、代數學、分析學、幾何學和應用數學。
○ 數學可大致分為五大部分，每一個分支中又包含著許多的子領域。| 圖片來源：NPI
數學基礎
數學基礎研究的是邏輯或集合論中的問題，它們是數學的語言。邏輯與集合論領域思考的是數學本身的執行框架。在某種程度上，它研究的是證明與數學現實的本質，與哲學接近。
數理邏輯和基礎
Mathematical logic and foundations
數理邏輯是這一部分的核心，但是對邏輯法則的良好理解產生於它們第一次被使用之後。除了在計算機科學、哲學和數學中正式地使用了基礎的命題邏輯之外，這一領域還涵蓋了普通邏輯和證明論，最終形成了模型論。在此，一些著名的結果包括哥德爾不完全性定理以及與遞歸論相關的丘奇論題。
代數學
代數是對計數、算術、代數運算和對稱性的一些關鍵的概念進行提煉而發展的。通常來說，這些領域僅通過幾個公理就可定義它們的研究對象，然後再考慮這些對象的示例、結構和應用。其他非常偏代數的領域包括代數拓撲、信息與通信，以及數值分析。
數論
Number theory
數論是純數學中最古老、也是最龐大的分支之一。顯然，它關心的是與數字有關的問題，這通常是整數或有理數（分數）。除了涉及到全等性、可除性、素數等基本主題之外，數論現在還包括對環與數域的非常偏代數的研究；還有用於漸近估計和特殊函數的分析方法和幾何主題；除此之外，它與密碼學、數學邏輯甚至是實驗科學之間都存在著重要的聯繫。
群論
Group theory
群論研究的是那些定義了可逆結合的“乘積”運算的集合。這包括了其他數學對象的對稱集合，使群論在所有其他數學中佔有一席之地。有限群也許是最容易被理解的，但矩陣群和幾何圖形的對稱性同樣也是群的中心示例。
李群
Lie Group
李群是群論中的一個重要的特殊分支。它們具有代數結構，但同時也是空間的子集，並且還包含幾何學；此外，它們的某些部分看起來就像歐幾里德空間，這使得我們可以對它們進行解析（例如求解微分方程）。因此李群和其他拓撲群位於純數學的不同領域的收斂處。
交換環和交換代數
Commutative rings and algebra
交換環是與整數集類似的集合，它允許加法和乘法。尤其有趣的是數論、域論和相關領域中的環。
結合環和結合代數
Associative rings and algebra
結合環論可被看作是交換環的非交換類比。它包括對矩陣環、可除環（如四元數），以及在群論中重要的環的研究。數學家開發了各種工具，以便能夠研究一般化的環。
非結合環和非結合代數
Nonassociative rings and algebras
非結合環論進一步地拓寬了研究範圍。這裡的通用理論較弱，但這種環的特殊情況是至關重要的：尤其是李代數，以及約當代數和其他類型。
域論與多項式
Field theory and polynomials
域論研究的是集合（如實數直線），所有一般的算術性質都包含在實直線上，包括除法性質。研究多場對多項式方程具有重要意義，因而它在數論和群論中也都具有應用意義。
一般代數系統
General algebraic system
一般代數系統包括那些具有非常簡單的公理構成，以及那些不容易被包含在群、環、域或其他代數系統中的結構。
代數幾何
Algebraic geometry
代數幾何將代數與幾何相結合，使二者彼此互利。例如，於1995年被證明的“費馬大定理”，表面上看是關於數論的陳述，但其實是通過幾何工具才得以證明。反過來，由方程定義的集合的幾何性質，是用複雜的代數機制來研究的。這是一個魅力非常的領域，許多重要的課題都非常深奧，橢圓曲線就數其中之一。
線性代數
Linear algebra
線性代數，有時會被“喬裝”成矩陣論，它考慮的是能維持線性結構的集合與函數。它涵蓋的數學範圍非常廣，包括公理處理、計算問題、代數結構，甚至幾何的一些部分；此外，它還為分析微分方程、統計過程甚至許多物理現象提供了重要的工具。
範疇論
Category theory
範疇論是一個相對較新的數學領域，它為討論代數與幾何的各個領域提供了一個通用的框架。
K理論
K theory
K理論是代數與幾何的有趣結合。最初是為了拓撲空間（向量叢）定義，現在也為環（模）定義，它為這些物體提供了額外的代數信息。
組合數學
Combinatorics
組合數學（或稱為離散數學）則著眼於集合的結構，其中某些子集是可區分的。例如，一副圖是許多點的集合，其中一些邊（兩個點的集合）是給定的。其他的組合問題要求對具有給定屬性的集合的子集進行計數。這是一個很龐大的領域，計算機科學家和其他數學以外的人對此都非常感興趣。
序集合
Ordered sets
序集合（格）可以為例如一個域的子域集合，給出一個統一的結構。各種特殊類型的格都具有異常完好的結構，並且應用在群論和代數拓撲等多個領域中。
幾何學
幾何學是數學中最古老的領域之一，幾個世紀以來，它經歷了數次重生。從一個極端來看，幾何學包括對首次在歐幾里得的《幾何原本》中出現的剛性結構的精確研究；從另一個極端來看，一般拓撲學關注的是形狀之間最基本的親緣關係。代數幾何中也隱含著一個非常微妙的“幾何”概念，但如上文所注，它其實更偏向於代數。其他的一些也能算得上是幾何的領域有K理論、李群、多複變函數、變分算、整體分析與流行上的分析。
幾何學
Geometry
幾何學是一門從多方面研究的學科。這一大塊區域包括經典的歐幾里德幾何和非歐幾何、解析幾何、重合幾何（包括射影平面）、度規性質（長度與角度），還有組合幾何學——如從有限群論中出現的幾何。
流形
Manifolds
流形是像球體一樣的空間，從局部來看它像是歐幾里德空間。在這些空間裡，我們可以討論（局部的）線性映射，還能討論函數的光滑性。它們還包括許多常見的表面。多面復形是由許多塊的歐幾里德空間的部分組成的空間。這些空間類型認可關於映射與嵌入問題的精確答案，它們尤其適用於代數拓撲中的計算，能細緻的區分等價的各種不同概念。
凸幾何與離散幾何
Convex and discrete geometry
凸幾何與離散幾何包括對在歐幾里得空間中的凸子集的研究。它們包括對多邊形和多面體的研究，並經常與離散數學和群論重合；分段線性流形讓它們與拓撲學交叉。除此之外，這一領域也包括歐幾里得空間中的鑲嵌與堆積問題。
微分幾何
Differential geometry
微分幾何是現代物理學的語言，也是數學領域的一片樂土。通常，我們考慮的集合是流形（也就是說，局部類似於歐幾里德空間），並且配備了距離度量。它包括對曲線和曲面的曲率研究。局域型問題既適用又有助於微分方程的研究；整體型問題會經常調用代數拓撲。
一般拓撲學
General topology
一般拓撲學研究的是隻含有不精確定義的“閉合”（足以決定哪些函數是連續的）的空間。通常會研究一些帶有附加結構的空間（比如度量空間，或者緊緻豪斯多夫空間），並觀察一些屬性（如緊緻）是如何與子空間、積空間等共享的。拓撲學廣泛應用於幾何學與分析學，也使得出現一些奇異的例子和集論難題。
代數拓撲
Algebraic topology
代數拓撲是研究附屬於拓撲空間的代數對象，代數不變量說明了空間的某些剛度。這包括各種（上）同調論、同倫群，以及一些更偏幾何的工具，例如纖維叢。其代數機制（主要來自同調代數）非常強大，使人生畏。
分析學
分析學研究的是從微積分和相關領域中獲得的結果。我們可以將它進一步劃分為5個小部分：
微積分與實分析
復變量
微分方程與積分方程
泛函分析
數值分析與最優化
【微積分與實分析】
實函數
Real functions
實函數是微積分課堂會介紹的內容，其中的重點在於它們的導數和積分，以及一般的不等式。這一領域包括常見的函數，如有理函數，是最適合討論與初等微積分學的相關問題的領域。
測度與積分
Measure and integration
測度論與積分研究的是一般空間的長度、表面積和體積，是積分理論全面發展的一個關鍵特徵，並且，它還為概率論提供了基本框架。
特殊函數
Special functions
特殊函數就是超出常見的三角函數或指數函數的特定函數。被研究的那些領域（例如超幾何函數、正交多項式等等）會很自然的出現於分析、數論、李群和組合數學領域。
差分方程與函數方程
Difference and functional equations
差分方程和函數方程都像微分方程一樣涉及到函數的推導，但它們的前提卻不盡相同：差分方程的定義關係不是微分方程，而是函數值的差。函數方程（通常）在幾個點上有函數值之間的代數關係作為前提。
序列與級數
Sequences and series
序列與級數實際上只是極限法中最常見的例子；收斂性判別準則和收斂速度與找到“答案”同樣重要。（對於函數序列來說，找到“問題”也同樣重要。）一些特殊的級數（如已知函數的泰勒級數）以及用於快速求和的一般方法可引來很大的興趣。積分可被用來求級數，分析可用來求級數的穩定性。級數的運算（如乘法或逆運算）也同樣是重要的課題。
【復變量】
複變函數
Functions of a complex variable
複變函數研究的是假設在複數上定義函數的可微性的影響。有趣的是，這種效應與實函數有明顯不同，它們受到的約束要嚴格得多，特別是我們可以對它們的整體行為、收斂性等作出非常明確的評論。這一領域包括黎曼曲面，它們在局部看起來像複平面，但卻並不是同一個空間。復變量技術在多個領域（例如電磁學）都具有很大的應用。
位勢論
Potential theory
位勢論研究的是調和函數。從數學的角度上看，它們都是拉普拉斯方程Del(u)=0的解；從物理學的角度上看，它們是給整個空間提供（由質量或電荷所產生的）勢能的函數。
多複變函數與解析空間
Several complex variable and analytic spaces
多複變函數研究的是一個以上的復變量的函數。由復可微性所賦予的嚴格約束意味著，至少在局部上，這些函數的行為與多項式幾乎一樣。對於相關空間的研究也趨向於與代數幾何類似，除了在代數結構之外還使用了分析工具。在這些空間上的微分方程和它們的自同構（automorphism）為其提供了與其他領域的有用連接。
【微分方程與積分方程】
常微分方程
Ordinary differential equations
常微分方程（ODE）是求解的未知數是一個函數、而非一個數值的方程，其中的已知信息會將這個未知函數與其導數聯繫起來。這類方程很少有明確的答案，但會有大量的信息來定性地描述它們的解。微分方程有許多重要的類別，它們在工程與科學領域的應用非常廣泛。
偏微分方程
Partial differential equations
偏微分方程（PDE）的形式與常微分方程大體相同，只是偏微分方程試圖求解的函數含有的變量不止一個。在求解過程中，我們也同樣需要能定性描述它的解的信息。例如在許多情況下，只有當某些參數屬於特定的集合（比如整數集）時，解才存在。它們與自然科學，尤其是物理、熱力學和量子力學有著非常密切的關係。
動力系統與遍歷論
Dynamical systems and ergodic theory
動力系統研究的是函數從空間到自身的迭代。理論上來說這一領域與流形上的微分方程密切相關，但在實踐中，它的重點在於基礎的集合（例如不變集或極限集）以及極限系統的混沌行為。
積分方程
Integral equations
積分方程自然是要尋找滿足其積分關係的函數。例如，每一次的函數值都可能與之前所有時間的平均值有關。這一領域中包括混合了積分與微分的方程。微分方程的許多方面會反覆出現，比如定性問題、近似法，以及有助於簡化問題的變換與算子等。
變分法與最優化
Calculus of variations and optimization
變分法與最優化尋找的是可以優化目標函數的函數或幾何對象。當然，這還包括對尋找最優結果所需d技術的探討，例如逐次逼近法或是線性規劃。除此之外，還存在大量用來建立與描述最優解的研究。在許多情況下，最優函數或最優曲線可以表示為微分方程的解。常見的應用包括尋找在某種意義上的最短曲線和最小曲面。該領域也適用於經濟學或控制理論中的優化問題。
整體分析
Global analysis
整體分析（或流形分析）研究的是流形的微分方程的整體性質。除了常微分方程理論中的一些適用於局部的工具之外，整體技術還包括使用映射的拓撲空間。這一領域還與流形理論、無限維流形和奇點流形有關，因此也與突變理論相關。除此之外，它還涉及到優化問題，從而與變分法重疊。
【泛函分析】
泛函分析
Functional analysis
泛函分析研究的是微分方程的全局，例如它會將一個微分算子看作為一組函數的線性映射。因此，這個領域就變成了對（無限維的）向量空間的研究，這種向量空間具有某種度規或其他結構，包括環結構（例如巴拿赫代數和C*-代數）。度量、導數和對偶性的適當一般化也屬於這一領域。
傅里葉分析
Fourier analysis
傅里葉分析利用三角多項式研究函數的近似與分解。這一領域在許多分析應用中都具有不可估量的價值，它擁有許多具體而又強大的結果，包括收斂性判別準則、估計和不等式以及存在唯一性結果。它的擴展包括對奇異積分理論、傅里葉變換和適當的函數空間的研究。這一領域還包括其他的正交函數族的近似，包括正交多項式和小波。
抽象調和分析
Abstract harmonic analysis
抽象調和分析：如果說傅里葉級數研究的是週期性的實函數，即在整數變換群下能維持不變的實函數，那麼抽象調和分析研究的就是在一個子群下維持不變的一般群上的函數。它包括的主題涉及到特異性的不同等級，這又涉及到對李群或局部緊緻阿貝爾群的分析。這一領域也與拓撲群的表示論有重合之處。
積分變換
Integral transforms
積分變換包括傅里葉變換以及拉普拉斯變換、Radon變換等其他變換。除此之外它還包括卷積運算與算子演算。
算子理論
Operator theory
算子理論研究泛函分析中的向量空間之間的變換，例如微分算子或自伴算子。分析可以研究單個算子的譜，也可以研究多個算子的半群結構。
【數值分析與最優化】
數值分析
Numerical analysis
數值分析涉及到數值數據的計算方法的研究。這在許多問題中意味著要製造一系列的近似；因此，這些問題涉及到收斂的速度、答案的準確性（甚至是有效性）以及回應的完整性（有很多問題，我們很難從程序的終端中判斷它是否還存在其他解決方案）。數學上的許多問題都可以歸結為線性代數問題——一個需要用數值方法來研究的領域；與之相關的重大問題是處理初始數據所需的時間。微分方程的數值解需要確定的不僅是幾個數值，而是整個函數；尤其是收斂性必須由某種整體準則來加以判斷。這一領域中還包括數值模擬、最優化、圖形分析，以及開發文件的工作代碼等課題。
逼近與展開
Approximations and expansions
逼近與展開主要考慮的是用特殊類型的函數來逼近實函數。這包括使用線性函數、多項式（不僅僅是泰勒多項式）、有理函數的逼近；其中三角多項式的近似被劃分在傅里葉分析中。這一領域包括擬合優度的判別標準、誤差範圍、逼近族的變化的穩定性、以及在近似情況下保留的函數特性（如可微性）。有效的技術對於特定種類的逼近也是很有價值的。這一領域也同樣覆蓋了插值與樣條。
運籌學/數學規劃
Operations research, mathematical programming
運籌學被喻為是研究最佳資源分配的領域。根據設置中的選項和約束，它可以涉及到線性規劃、二次規劃、凸規劃、整數規劃或布爾規劃。這一類別中也包括博弈論，博弈論實際上並不是關於博弈的課題，而是關於最優化，它研究的是哪一種策略組合能產出最佳結果。這一領域還包括數學經濟學。
應用數學
現在我們來談談許多人最關心的數學部分——發展能將數學運用到數學領域之外的數學工具。
概率論與隨機過程
Probability theory and stochastic processes
概率論應用於有限集合時就是簡單的計數組合分析，因此其技術與結果都與離散數學類似。當考慮無窮的可能結果集時，這個理論就得以體現它的價值。它涉及到大量的測度論以及對結果詳細嚴謹的解釋。更多的分析是隨著對分佈函數的研究而進入到這一領域的，極限定理則暗示著集中趨勢。應用於重複的轉移或隨時間的轉移會導致馬爾科夫過程和隨機過程。在考慮隨機結構時，概率的概念會應用到數學中，尤其是在某些情況下，它可以產生甚至對純數學都非常好的算法。
統計學
Statistics
統計學是一門從數據中獲取、合成、預測並作出推論的科學。對平均值與標準偏差的基本計算足以概括一個大的、有限的、正態分佈的數據集；之所以有統計領域的存在，是因為數據通常並不會被很好地呈現。如果我們不知道數據集中的所有元素，我們就必須討論採樣和實驗設計；如果數據有不正常之處，就需要我們用其他參數或者採用非參數方法對它們進行彙總；當涉及到多個數據時，我們需研究不同變量之間的交互的度量。其他的研究課題包括對時間相關數據的研究，以及避免歧義或悖論的必要基礎。它的計算方法（例如曲線擬合）對科學、工程以及金融和精算等領域的工作都具有特別重要的應用意義。
計算機科學
Computer science
計算機科學，如今它更是一門獨立的學科，它研究很多數學方面的問題。在這一領域中，除了從離散數學裡的許多問題中所產生的可計算性問題，以及與遞歸論相關的邏輯問題之外，它還考慮調度問題、隨機模型等等。
信息與通信
Information and communication
信息與通信包括一些代數學家特別感興趣的問題，尤其是編碼理論（與線性代數和有限群有關）和加密（與數論和組合數學有關）。許多適合這個領域的主題都可以用圖論的術語來表達，例如網絡流和電路設計。數據壓縮和可視化都與統計有重疊部分。
質點力學和系統力學
Mechanics of particles and systems
質點力學和系統力學研究的是粒子或固體的動力學，它包括旋轉與振動的物體。會用到變分原理（能量最小化）和微分方程。
固體力學
Mechanics of solids
固體力學考慮的是彈性與塑性、波傳播、工程，以及土壤和晶體等特定固體的問題。
流體力學
Fluid mechanics
流體力學研究的是空氣、水和其他流體的運動問題：壓縮、湍流、擴散、波傳播等等。從數學的角度來看，這包括對微分方程解的研究，這就涉及到大規模的數值計算方法（例如有限元法）。
光學/電磁理論
Optics, electromagnetic theory
光學、電磁理論是研究電磁波的傳播與演化的理論，它包括的主題有干涉和衍射。除了分析的一些普通分支，這一領域還涉及到一些與幾何相關的主題，比如光線的傳播路徑。
經典熱力學/熱傳導
Classical thermodynamics, heat transfer
經典熱力學和熱傳導研究的是熱量在物質中的流動，這包括相變和燃燒。從歷史的角度來看，它是傅里葉級數的起源。
量子理論
Quantum Theory
量子理論研究的是薛定諤（微分）方程的解，與此同時它還包括大量的李群理論和量子群論、分佈理論，以及與泛函分析、楊-米爾斯問題、費曼圖等有關的問題。
統計力學/物質結構
Statistical mechanics, structure of matter
統計力學和物質結構研究的是粒子的大尺度系統，它包括隨機系統和運動或進化系統。研究的具體物質類型包括液體、晶體、金屬和其他固體。
相對論與引力理論
Relativity and gravitational theory
相對論與引力理論將微分幾何、分析和群論應用於一些大尺度或極端情況下的物理學（例如黑洞和宇宙學）。
天文學和天體物理學
Astronomy and astrophysics
天文學和天體物理學：由於天體力學在數學上是質點力學的一部分，因此這一領域的主要應用大多與恆星和星系的結構、演化以及相互作用有關。
地球物理
Geophysics
地球物理學的應用通常涉及到力學和流體力學，但它是在大尺度上研究問題。
系統論/控制論
Systems theory; control
系統論以及控制論研究的是複雜系統（如工程系統）隨著時間發生的演化。特別是，人們可能會試圖對系統進行識別（即確定主導系統發展的方程或參數），或對系統進行控制（即通過選擇某些參數以達到期望的狀態）。特別令人感興趣的是穩定性問題，以及隨機變化和噪聲對系統的影響。雖然這通常屬於“控制論”或“機器人學”領域，但在實踐中，這是微分（或差分）方程、泛函分析、數值分析和整體分析（或微分幾何）的應用領域。
生物學與其他科學
Biology and other sciences
數學還與許多學科（包括化學、生物學、遺傳學、醫學、心理學、社會學和其他社會科學）具有明確的聯繫。在化學和生物化學中，圖論、微分幾何和微分方程的作用是顯而易見的。醫學技術必須用到信息傳遞和可視化的技術。生物學（包括分類學和考古生物學）會使用統計推斷和其他工具。經濟學和金融學也大量使用到統計學工具，尤其是時間序列分析；有一些主題更具有組合性，例如投票理論。（出於某些原因，數學經濟學被歸在運籌學的範疇內。）更多的行為科學（包括語言學）都會用到大量的統計技術，其中會涉及到實驗設計和其他偏組合類的主題。
以上羅列的便是數學家所從事的研究，但絕對不是唯一的分類標準，而且我們也沒能完整地羅列出所有的領域，比如數學家還研究量子代數（quantum algebra）、分形學（Fractal）、數學史以及數學教育等等。
對於許多人而言，數學是個非常抽象、難以理解的學科，特別是現代數學的發展，更是遠遠超越了非專業人士的理解範圍。但對於數學家而言，那些抽象的概念、符號、證明，猶如美妙的樂章一般，使他們沉醉其中。而數學在自然科學中不合理的有效性更是令人難以理解的奇蹟。正如諾獎得主尤金·維格納寫道的那樣：“數學語言在表述自然規律時的適當性是一項奇蹟，它是我們既不理解也不配擁有的奇妙天賜。我們應當感激，也希望它在未來的研究中仍然有效。而且不論是好是壞，當我們盡情拓展知識領域時，即使會令我們困惑，也依舊成立。”
http://msc2010.org/Default.html
https://mathscinet.ams.org/msc/msc2010.html
https://zbmath.org/classification/
https://web.archive.org/web/20150516045812/http://www.math.niu.edu:80/~rusin/known-math/index/beginners.html
https://arxiv.org/archive/math
https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_Subject_Classification
https://msc2020.org
本文經授權轉發自微信公眾號「新原理研究所」（ID：newprincipia），版權歸原作者所有。具體信息請參考原文章。
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內容簡介
《普林斯頓數學指南》是由菲爾茲獎得主T. Gowers 主編、133 位著名數學家共同參與撰寫的大型文集。全書由288 篇長篇論文和短篇條目構成, 目的是對20 世紀最後一二十年純粹數學的發展給出一個概覽，以幫助青年數學家學習和研究其最活躍的部分，這些論文和條目都可以獨立閱讀。原書有八個部分，除第Ⅰ部分是一個簡短的引論、第Ⅷ部分是全書的“終曲”以外，全書分為三大板塊，核心是第Ⅳ部分“數學的各個分支”，共26 篇長文，介紹了20 世紀最後一二十年純粹數學研究中最重要的成果和最活躍的領域，第Ⅲ部分“數學概念”和第Ⅴ部分“定理與問題”都是為它服務的短條目。第二個板塊是數學的歷史，由第Ⅱ部分“現代數學的起源”（共7 篇長文）和第Ⅵ部分“數學家傳記”（96 位數學家的短篇傳記）組成。第三個板塊是數學的應用，即第Ⅶ部分“數學的影響”（14 篇長文章）。作為全書“終曲”的第Ⅷ部分“結束語：一些看法”則是對青年數學家的建議等7 篇文章。
中譯本分為三卷，第一卷包括第I-III部分，第二卷即第IV部分，第三捲包括第V～VIII部分。
本書適合於高等院校本科生、研究生、教師和研究人員學習和參考，雖然主要是為了數學專業的師生寫的，但是，具有大學數學基礎知識，更重要的是對數學有興趣的讀者，都可以從本書得到很大的收穫。
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