我最近閱讀、瞭解了一些數學專業相關的知識，真可謂大吃一驚，大開眼界。
通常，印象中，數學專業研究的數學，不過就是難一點嘛，是我們這些業餘選手學的數學的加強版。
這就好比以前高中課本中的一些加*號的章節，或者歷史課本里的小字部分，啥意思？
高考不考嘛。
似乎，他們學的，應該就是我們考試不考的內容，僅此而已。
但實際上，完全不是這樣。
打個比方：
用軟件的人，和開發軟件的人，顯然不是一類人。
用軟件的可能是個會計，或者是炒股的散戶，或者是網購剁手黨，甚至是路邊炒飯的大哥，他們來自各行各業，只不過因為業務需要而使用某些軟件。
而工程師呢？他們面對的，其實是代碼，是程序。
所以，用軟件的和做軟件的，不是一類人。
同理，大學裡的“數學專業”和學習中用到數學的“理工農醫專業”，所學的數學，也不是一回事。
舉個例子：
什麼是自然數？
凡人眼中的數學
定義 自然數就是集合：
N := {0, 1, 2, 3, 4, ······}
中的元素，我們將N稱為自然數集。
通俗地說就是，從0開始，無休止地往後數(shǔ)所得到的所有數(shù)。
自然數不就是012345一直往後數嘛，這高大上的集合的概念都用上了，看起來應該沒問題啊。
數學專業眼中的數學
但是，對於實分析來說，這個定義漏洞百出，好多問題懸而未決：
• 什麼是“往後數(shǔ)”？
• 0, 1, 2, 3, 4是什麼鬼？這些符號尚無定義。
• 3和0不相等嗎？如何證明？
• 可以往後一直數(shǔ)下去嗎？是否有盡頭？如何證明？
相當有病吧。
對，這就是我剛才說的，數學專業和用到數學的其它專業，是兩個不同的概念。
現在，我們展示如何解決前面提出的那幾個問題。
首先，我們直觀地感受到，自然數的主要規律是：
後一個數相比前一個數在“增長(zhǎng)”。
在C語言中，增長運算用++來表示，因此，我們首先說明，用n++表示n的“下一個數”。
公理1 0是一個自然數。
公理2 若n是自然數，則n++也是一個自然數。
所謂公理，是不用證明的，你大可自己創造一套公理系統，但應該不會比數學家的更好使。
有了這兩條公理，我們就可以得到很多自然數：
0, 0++, (0++)++, ((0++)++)++, ······
但是，我們發現，這些符號過於冗長，因此，我們定義：
定義1
1是0++,
2是(0++)++，
3是((0++)++)++，等等。
你完全可以定義成羅馬數字ⅠⅡⅢ，或者①②③，甚至火星文，你習慣就好，因為，這和怎麼書寫無關，123只是一些無關性質的符號而已。
於是，我們就可以證明：
命題1 3是自然數。
證：根據公理1，0是自然數，又根據公理2，0++是自然數，再用公理2，1++是自然數，再用公理2，2++是自然數，因此，3是自然數。
冷靜，還沒完。
這個序列可以一直往後增長，但會不會有盡頭？
比如，0123401234·····，這也是一直往後增長喔。
因此，我們必須給出一個說法：
公理3 0不是任何自然數的後繼，即對於每個自然數n，都有n++≠0.
有了這個公理，我們就可以證明：
命題2 3不等於0.
證：根據我們剛才已有的原理，3是0的增長的增長的增長，因此，根據公理2，3是一個自然數，又根據公理3，3≠0.
但是，還有問題。
我們數著數著不會回到0，那是否會回到2或者3或者其它的數呢？
因此，我們也要作出規定：
公理4 不同的自然數必有不同的後繼。
簡而言之就是，
如果m和n是自然數，且m≠n，那麼，m++≠n++。
這套公理系統被稱為Peano(1858-1932)公理，限於篇幅，我們不在此展開第五條公理，因為這些內容已足夠說明：
我們在生活、學習、工作中用的數學，遠不是數學真正的樣子。
因此，大家在報考數學專業時，還是得慎重考慮：
這數學，是數學專業的數學。
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