平移，旋转，轴对称是我们初中学习的“几何三大变换”。在我们初中阶段学习的几何知识中占据着核心的地位，特别是旋转，那更是核心中的核心（河南中考22题年年考）。
如何更好的理解旋转，如何更好的利用旋转这个工具来解题，相信下面的内容一定会让你眼界大开，有一种“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。
另外，随着教材的改版，圆的知识在中考中的显性考察在变少(显性考察是指一看题目就知道考圆的)，但是隐形考察（辅助圆，利用隐圆求最值，四点共圆等）却一点也没少，而且往往和压轴题结合起来，所以，今天也希望通过下面的讲解帮助大家建立利用“圆”来妙解题目，理解“圆来如此”的真正含义。
话不多说，直接上题：
如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为________
（这个题目我们最早八年级上册学完勾股定理便会遇到，到了九年级方法就更多了。
分析：
由题中条件可知：E为定点，则BE为定线段，因为CF⊥BE，所以F也是定点，则OF的长是唯一确定的。
并且根据题中的数据可以得到以下信息：
0B=OC=OA=OD=
CE=2，ED=4，BE=
，
CF=
(在RTBCE中利用斜高定理即可求出)
BF=
，EF=
（可利用勾股定理得到）
因为篇幅关系，下面只介绍基本方法，具体求值有些需要上面的四组数据，因此先罗列出来。
下面展开说方法：
方法一：
利用八年级知识构造弦图来解决。
由弦图可知：四边形NHFM为正方形，△OHF为等腰直角三角形，因此HF=
OF，所以要求OF，只要求出HF即可。
同样利用弦图的知识可知：BCF,CMD,ADN,ABH均为全等的直角三角形，所以BH=CF=
,因为BF=
所以HF= BF—BH=
—
=
，
因此，OF=
=
下面的解法二到解法五都是利用旋转（或叫构造）来解决。---此法曾经在公众号上发表过，点击查看【“秘诀在手，学习无忧”陈中状元班教你丛横江湖】。
思路来源：发现OB=OC，根据等线段共端点想到利用旋转来解题。
方法二：
旋转△OFC
可将△OFC绕点O顺时针旋转90°，得到△OMB，不过要先通过8字形证明∠OCF=∠OBM，才能说明M落在BE上。
或者直接过点O作OM⊥OF交BE于点M，可证明△OMB≌△OFC,其实就是构造直角共顶点的手拉手模型。可得OMF为等腰直角三角形，MF=
OF,后面的计算与方法一保持一致，不再叙述。
方法三：
既然可以旋转△OFC，当然也可以旋转△OBF
可将△OBF绕点O逆时针旋转90°，得到△OCM ，不过也是要先通过8字形证明∠OCM=∠OBF，才能说明C、F、M三点共线。
后面的思路与解法二类似，不再叙述。
方法四：
既然手拉手全等可以，构造手拉手相似当然也行。---本质也是旋转
构造出三角形FBM与三角OBC两个等腰直角三角形45°共顶点，易得BOF相似于BCM，且相似比是
，因此，
,而CM=FM—FC=BF-FC可以得到，因此可快速求出OF的长。
方法五：
将构造手拉手相似进行到底。方法与上面类似，不再叙述。
构造出三角形FCM与三角形OCB两个等腰直角三角形45°共顶点，易得OCF相似于BCM，且相似比是
， 因此，
,计算出BM即可。
方法分析：方法二与方法三是手拉手全等，方法四与方法五是手拉手相似。本质都是旋转，但是方法四和方法五从计算上来看更快一些。
下面我们介绍两种四点共圆的方法：
方法六：
利用公式--此法我在标题为“秘诀在手，学习无忧”陈中状元班教你丛横江湖的文章中也提到过。
因为O、B、C、F四点共圆，因此，可直接立利用公式来解决。根据：OB×CF+BC×OF=BF×OC来求出OF的长（其余边长均知道）
方法七：
这个也很巧
因为O、B、C、F四点共圆，且易知BC的中点N为圆心。则可知NF=NO=3,∠α=∠β,由12345模型（后面会介绍这个模型）可知，
，因此
，因此可得MNF的三边比为
，根据NF长求出FM的长度，而OF=2FM，即可求出OF的长。
四点共圆的作用就在于一个“秒”字，掌握好这种方法，能大大减少我们的书写过程，带来不一样的感受。
方法八：
利用12345模型，此模型最基本的结论为：若α+β=45°，且
，则
，即如果两个两角之和为45°，其中一个角的正切是
，则另一个角的正切是
，三个内容可知二推一。
这个模型在我们解决二次函数角度问题中起着非常重要的作用，能大大减少计算量和思维量。2019年郑州市九年级一模23题最后一问用这个模型来解决非常的快，所以这个模型是非常巧妙的方法，值得我们细细品味。
因为
,且α+β=45°，所以
,因此可得OBM的三边比为
，因为 0B =
,所以可以得到
，所以
方法九：
利用面积法----这里推荐一本书：《仁者无敌面积法》，相信数学有研究的人对编者：彭翕成老师和张景中老师都非常熟悉。
此法实在是妙，每每看到这个解法，都发自内心的喜悦与满足。
因为DE：EC=2：1，所以BCE的面积是BED面积的一半，又因为O是BD中点，所以BOE的面积是BED面积的一半，因此，BCE的面积等于BOE的面积，又因为两个三角形同底，因此高相等，即OM=CF=
，因此，
方法十：
建立平面直角坐标系来解决
根据题中条件，容易得到点C，点E的坐标，进而可求出直线BE的函数关系式，再利用两直线垂直，K值的积为—1，便可得到直线CF的K值，再利用C点坐标求出直线CF的函数关系式，然后联立BE与CF的关系式，求出F点坐标，最后利用两点间的距离公式求出OF的长度。
将几何图形放到坐标系中的方法往往能出奇制胜，收获惊喜。
方法十一：
利用天然存在的相似来解决(A字型)----发现相似是关键，如果能发现，计算会非常简单。
利用BOF相似于BED，BED的三边均知道，因此三边比都知道了，而BOF中知道B0的长度，便可根据三边的比例关系求出OF的长度。
方法十二：
利用天然相似(8字型)
图1可得到BCM相似于OFM，可得
，即
，得到
（这里关于
的比值可由前面12345模型得到）
由第十一种、第十二种、第十三种解法可知：A字型和8字型作为最基本的相似模型，太重要，太重要，太重要！！！
方法十三：
构造三垂直（改斜归正）
利用图1的全等和图2的相似，再结合方程思想便可求出OF的长度。
方法十四：
构造直角三角形-特别注意OMF为等腰直角三角形
利用勾股定理与方程思想便可求出OF的长。
方法十五：
利用最基本的方法：将线段放到直角三角形中解决问题
利用勾股定理、方程思想以及三角函数，便可求出OF的长。
同一题目，站在不同视角就会有不同的方法，而多视角的解决问题，也有助于加深我们对各个知识的理解与应用，希望同学们能从中得到启发，就像我常说的“让数学点亮智慧”，真正通过这方面的思考提升我们的思维与理科素养。
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