平移，旋轉，軸對稱是我們初中學習的“幾何三大變換”。在我們初中階段學習的幾何知識中佔據著核心的地位，特別是旋轉，那更是核心中的核心（河南中考22題年年考）。
如何更好的理解旋轉，如何更好的利用旋轉這個工具來解題，相信下面的內容一定會讓你眼界大開，有一種“山窮水復疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。
另外，隨著教材的改版，圓的知識在中考中的顯性考察在變少(顯性考察是指一看題目就知道考圓的)，但是隱形考察（輔助圓，利用隱圓求最值，四點共圓等）卻一點也沒少，而且往往和壓軸題結合起來，所以，今天也希望通過下面的講解幫助大家建立利用“圓”來妙解題目，理解“圓來如此”的真正含義。
話不多說，直接上題：
如圖，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長為________
（這個題目我們最早八年級上冊學完勾股定理便會遇到，到了九年級方法就更多了。
分析：
由題中條件可知：E為定點，則BE為定線段，因為CF⊥BE，所以F也是定點，則OF的長是唯一確定的。
並且根據題中的數據可以得到以下信息：
0B=OC=OA=OD=
CE=2，ED=4，BE=
，
CF=
(在RTBCE中利用斜高定理即可求出)
BF=
，EF=
（可利用勾股定理得到）
因為篇幅關係，下面只介紹基本方法，具體求值有些需要上面的四組數據，因此先羅列出來。
下面展開說方法：
方法一：
利用八年級知識構造弦圖來解決。
由弦圖可知：四邊形NHFM為正方形，△OHF為等腰直角三角形，因此HF=
OF，所以要求OF，只要求出HF即可。
同樣利用弦圖的知識可知：BCF,CMD,ADN,ABH均為全等的直角三角形，所以BH=CF=
,因為BF=
所以HF= BF—BH=
—
=
，
因此，OF=
=
下面的解法二到解法五都是利用旋轉（或叫構造）來解決。---此法曾經在公眾號上發表過，點擊查看【“秘訣在手，學習無憂”陳中狀元班教你叢橫江湖】。
思路來源：發現OB=OC，根據等線段共端點想到利用旋轉來解題。
方法二：
旋轉△OFC
可將△OFC繞點O順時針旋轉90°，得到△OMB，不過要先通過8字形證明∠OCF=∠OBM，才能說明M落在BE上。
或者直接過點O作OM⊥OF交BE於點M，可證明△OMB≌△OFC,其實就是構造直角共頂點的手拉手模型。可得OMF為等腰直角三角形，MF=
OF,後面的計算與方法一保持一致，不再敘述。
方法三：
既然可以旋轉△OFC，當然也可以旋轉△OBF
可將△OBF繞點O逆時針旋轉90°，得到△OCM ，不過也是要先通過8字形證明∠OCM=∠OBF，才能說明C、F、M三點共線。
後面的思路與解法二類似，不再敘述。
方法四：
既然手拉手全等可以，構造手拉手相似當然也行。---本質也是旋轉
構造出三角形FBM與三角OBC兩個等腰直角三角形45°共頂點，易得BOF相似於BCM，且相似比是
，因此，
,而CM=FM—FC=BF-FC可以得到，因此可快速求出OF的長。
方法五：
將構造手拉手相似進行到底。方法與上面類似，不再敘述。
構造出三角形FCM與三角形OCB兩個等腰直角三角形45°共頂點，易得OCF相似於BCM，且相似比是
， 因此，
,計算出BM即可。
方法分析：方法二與方法三是手拉手全等，方法四與方法五是手拉手相似。本質都是旋轉，但是方法四和方法五從計算上來看更快一些。
下面我們介紹兩種四點共圓的方法：
方法六：
利用公式--此法我在標題為“秘訣在手，學習無憂”陳中狀元班教你叢橫江湖的文章中也提到過。
因為O、B、C、F四點共圓，因此，可直接立利用公式來解決。根據：OB×CF+BC×OF=BF×OC來求出OF的長（其餘邊長均知道）
方法七：
這個也很巧
因為O、B、C、F四點共圓，且易知BC的中點N為圓心。則可知NF=NO=3,∠α=∠β,由12345模型（後面會介紹這個模型）可知，
，因此
，因此可得MNF的三邊比為
，根據NF長求出FM的長度，而OF=2FM，即可求出OF的長。
四點共圓的作用就在於一個“秒”字，掌握好這種方法，能大大減少我們的書寫過程，帶來不一樣的感受。
方法八：
利用12345模型，此模型最基本的結論為：若α+β=45°，且
，則
，即如果兩個兩角之和為45°，其中一個角的正切是
，則另一個角的正切是
，三個內容可知二推一。
這個模型在我們解決二次函數角度問題中起著非常重要的作用，能大大減少計算量和思維量。2019年鄭州市九年級一模23題最後一問用這個模型來解決非常的快，所以這個模型是非常巧妙的方法，值得我們細細品味。
因為
,且α+β=45°，所以
,因此可得OBM的三邊比為
，因為 0B =
,所以可以得到
，所以
方法九：
利用面積法----這裡推薦一本書：《仁者無敵面積法》，相信數學有研究的人對編者：彭翕成老師和張景中老師都非常熟悉。
此法實在是妙，每每看到這個解法，都發自內心的喜悅與滿足。
因為DE：EC=2：1，所以BCE的面積是BED面積的一半，又因為O是BD中點，所以BOE的面積是BED面積的一半，因此，BCE的面積等於BOE的面積，又因為兩個三角形同底，因此高相等，即OM=CF=
，因此，
方法十：
建立平面直角座標系來解決
根據題中條件，容易得到點C，點E的座標，進而可求出直線BE的函數關係式，再利用兩直線垂直，K值的積為—1，便可得到直線CF的K值，再利用C點座標求出直線CF的函數關係式，然後聯立BE與CF的關係式，求出F點座標，最後利用兩點間的距離公式求出OF的長度。
將幾何圖形放到座標系中的方法往往能出奇制勝，收穫驚喜。
方法十一：
利用天然存在的相似來解決(A字型)----發現相似是關鍵，如果能發現，計算會非常簡單。
利用BOF相似於BED，BED的三邊均知道，因此三邊比都知道了，而BOF中知道B0的長度，便可根據三邊的比例關係求出OF的長度。
方法十二：
利用天然相似(8字型)
圖1可得到BCM相似於OFM，可得
，即
，得到
（這裡關於
的比值可由前面12345模型得到）
由第十一種、第十二種、第十三種解法可知：A字型和8字型作為最基本的相似模型，太重要，太重要，太重要！！！
方法十三：
構造三垂直（改斜歸正）
利用圖1的全等和圖2的相似，再結合方程思想便可求出OF的長度。
方法十四：
構造直角三角形-特別注意OMF為等腰直角三角形
利用勾股定理與方程思想便可求出OF的長。
方法十五：
利用最基本的方法：將線段放到直角三角形中解決問題
利用勾股定理、方程思想以及三角函數，便可求出OF的長。
同一題目，站在不同視角就會有不同的方法，而多視角的解決問題，也有助於加深我們對各個知識的理解與應用，希望同學們能從中得到啟發，就像我常說的“讓數學點亮智慧”，真正通過這方面的思考提升我們的思維與理科素養。
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