1880年的幾個月中，整個美國陷入到“15 謎題”遊戲的狂熱中。1880 年 3 月 12 日，美國堪薩斯州當地一家媒體撰文稱：“15 謎題風靡全國各個城市，人們不眠不休，為之瘋狂。”之後，對該遊戲的狂熱又傳到了歐洲、澳大利亞和新西蘭。
圖丨“15 謎題”要求玩家移動標著數字的卡片，目標是讓 15 個數字有序排列。將數字卡片換成電子自旋，該謎題就可以被用來解釋永久磁鐵的原理（來源：Quanta Magazine）
15 謎題是個簡單的遊戲：在一個 4 乘 4 的框架內，有 15 個寫著數字1-15 的卡片，玩家的任務是移動卡片，讓 15 張卡片按自然數順序排列。
這個遊戲與古老的中國民間益智遊戲華容道很像，約翰·霍普金斯大學助理教授李易告訴 DeepTech，“（卡片）形狀不太一樣，在遊戲精髓上是一樣。”
今天看來，15 謎題可能有點過時，但在 1880 年可不是這樣。當時媒體稱：“再多動的孩子和再古板的成人都無法抵抗絞盡腦汁解決 15 謎題的誘惑。”不過數學家最終證明：只有一半的卡片組合方式最終可以通過移動實現順序排列。
140年後的今天，15 謎題再度引起了科學家的興趣，因為它有助於解釋一個更加複雜的謎題：磁鐵為什麼會產生磁力？
永久磁鐵是一種鐵磁性材料，這種材料的所有電子自旋方向一致，從而產生磁場。具體來說，鐵、鈷和鎳具有巡遊鐵磁性，即內部電子可以自由運動。每個電子具有自己的磁矩，但若要解釋為何所有電子的磁矩能實現方向一致，則需要計算所有電子之間的複雜量子互動，這種工作太過複雜以致幾乎不可能完成。
李易表示，“巡遊鐵磁性是凝聚態物理中最複雜的理論問題之一。”
不過，藉助 15 謎題中的數學工具，李易與她的研究生 Eric Bobrow 和數學系研究生 Keaton Stubis 向著解決該問題邁進了一步。他們近期在 Physical ReviewB 發表的論文將 15 謎題的數學原理推廣到更普遍、更現實的系統，該工作可能給出對金屬磁性起源的更深的理解。
加州大學聖地亞哥分校的物理學家 Daniel Arovas 表示，該工作非常值得讚賞。此外，由於巡遊鐵磁性的理論工作很少，因此他個人非常喜歡這項工作。
空穴之舞
電子在金屬中需要服從兩項基本約束。第一，電子帶負電，因此相互排斥。第二，電子必須服從泡利不相容原理，即：2 個粒子不能佔據同一個量子態。也就是說，相同自旋方向——自旋與電子磁矩有關——的電子，不能在同一個原子核周圍佔據同一個量子態，但是 2 個自旋方向相反的電子可以。
根據以上 2 個約束，大批自由電子最容易出現的狀態是彼此分離，且自旋方向一致，此時金屬對外體現出鐵磁性。
（來源：Quanta Magazine）
但這只是解釋了結果，而長期困擾物理學家的問題是：如此有序的微觀結構是如何通過電子之間的不計其數的量子互動產生的？李易進一步解釋，一個電子的量子運動——其量子特性的複雜數學描述——可以跟另一個電子的量子運動發生關聯。為了精確地描述一群電子如何產生鐵磁性，你必須對它們做一個整體性描述，因為每一個電子不停地被其他電子的量子運動通過相互作用而關聯。事實上，想用嚴格的數學公式來描述這種複雜的量子關聯是很少能達到的。
李易團隊選擇的方法是，研究一個更簡單，但能表現鐵磁性基本物理性質的模型。事實上，李易的工作是某項 50 多年前的里程碑工作的拓展。
劍橋大學物理學家、2016 年物理學諾獎得主大衛·索利斯（David Thouless）和來自名古屋大學、當時在加州大學聖地亞哥分校訪問的物理學家長岡洋介（Yosuke Nagaoka）分別於 1965 和 1966 年獨立發表了自己的工作，這項工作日後被稱為長岡-索利斯理論。該理論基於一個理想化的原子晶格模型。儘管這一理論成立的前提條件與現實中的金屬磁性現象的條件並不一致，其重要性一方面在於第一次解釋了電子自旋方向為什麼會達成一致，另一方面在於該工作的數學證明避免了物理上的近似，確保了精確性。
想象一個 2 維網格。該網格中的每個節點可以容納 2 個自旋方向相反的電子，但該理論假定：讓 2 個電子佔據同一個節點所需要的能量是無窮大，因此實際上每個節點中最多隻有 1 個電子。每個電子的自旋方向只有“上”或“下”兩種取值。每個電子的自旋方向不是固定的，因此該模型未必會對外顯示出鐵磁性。
圖丨李易（來源：Johns Hopkins University）
現在，從模型中移除 1 個電子，從而產生一個空穴。相鄰電子可以進入這個空穴，把自己原先的位置變成空穴。另一個電子可以進入這個新空穴，產生另一個空穴。如此這般，空穴在各個節點之間運動。長岡和索利斯發現，加入 1 個空穴，就足以讓剩下的所有電子的自旋方向一致，因為這種狀態——鐵磁性狀態——是最低能態。
另一方面，為了讓整個模型處於最低能態，空穴自由運動的同時，不能擾動電子自旋格局，因為這種行為會需要額外的能量。為了讓電子的運動不影響自旋格局，所有電子的自旋方向必須一致。
東京大學物理學家押川正毅（Masaki Oshikawa）表示，長岡理論是少數幾個可以解釋鐵磁性現象的模型，但該模型離真實情況仍然太過遙遠。
例如，該模型強行設定，2 個電子居於同一個節點需要耗費無窮大的能量。但在真實磁體中，這種行為的能量消耗不是無窮大——儘管仍然不小。此外，長岡-索利斯模型只能適用於 2 維正方和三角網格，以及 3 維立方網格，但現實存在的鐵磁性金屬，其晶格結構類型豐富得多。
如果長岡-索利斯理論真的是鐵磁性原理的正確物理解釋，那麼必須證明其適用於更多類型的晶格結構。李易表示，長期以來物理學家看好該理論的普適性，但一直沒有得到合適的證明。
自旋和數字卡片
1989年，日本學習院大學物理學家田崎晴明（Hal Tasaki）證明，長岡-索利斯理論在具備連通性的網格中都可以成立。
什麼是連通性？如果這個網格在產生 1 個空穴之後，你無需改變自旋方向向上和向下的電子數目，就可以通過移動電子，構成所有可能的電子空間排布，則這個網格滿足連通性。
但是沒人能證明，2 維正方和三角網格，以及 3 維立方網格之外的網格結構也服從連通性，所以這個理論的普適性仍然存在問題。
李易先將初步研究目標設定在解析證明六邊形蜂窩狀晶格的連通性。與她的物理系研究生 Bobrow 討論後，很快證明了這一命題。進一步，李易的研究生 Bobrow 和他的數學系室友Stubis 意識到：19 世紀的 15 謎題遊戲要解決的問題跟長岡-索利斯問題可能有相通之處。在進一步的討論中，李易和研究生 Bobrow 認識到只要把卡片上的數字換成"上"和"下"自旋，該謎題就變成類似長岡-索利斯問題——1 個空穴在原子晶格中運動。
如果你能讓 15 個數字恢復順序，那麼這個謎題就被解開，而這正是連通性的定義。因此“給定網格是否滿足連通性”的問題，被轉化為“等價網格謎題是否可解”的問題。
1974年，加州理工數學家Richard Wilson 找到了判定對任一網格形態是否存在求解廣義 15 謎題的方法。作為證明的一部分，他指出，對於幾乎所有的非可再分網格（即移走 1 個電子之後，各個節點間仍然保持互聯的網格），玩家都可以通過移動卡片生成自己要想的排列，只要移動步數是偶數。少數不符合這個規律的網格是邊數多於 3 的單個多邊形網格，以及一個格點位於一個六邊形的中心並連接 2 個相對頂點的“西塔-0”圖。
現在，研究人員可以用 Wilson 的結果來推廣長岡-索利斯理論。對於存在 1 個空穴的電子系統，他們證明，幾乎所有的網格結構都滿足連通性，比如 2 維蜂窩網格和 3 維金剛石網格。而不滿足連通性的 2 個例外——單個多邊形網格和“西塔-0”圖——不存在於現實世界的鐵磁性金屬中。
下一步的研究
加州大學聖克魯茲分校的物理學家 Sriram Shastry 認為，15 謎題是一個全新的、潛在成果豐碩的研究方向，因為它通過與圖論的聯繫，引入了新的學術語言。物理學和數學的交叉將會在未來導向豐碩的成果。
從李易早期的求學經歷看，曾在多個領域學習。她本科一年級時是復旦大學的藥學專業，有機化學、生物等課程都很吸引她，成績也優秀。
但一次偶然的機會，讓她迷上了物理學。那天，李易去上化學課，結果教室調換了，她沒有接到通知。等到上課了，她才發現是復旦大學物理系金曉峰教授的物理課，當時講費曼物理學，穿插有很多物理學發展的歷史，"覺得很有意思，就旁聽了"。第二年，她就想辦法轉到物理系。
復旦大學的物理系和數學系交流很多。因此，李易也受益於來自數學系老師的學術指導。2009 年，她在復旦大學獲物理學碩士學位。2013 年在加州大學聖地亞哥分校獲物理學博士學位。隨後，在普林斯頓大學從事博士後研究。從 2016 年 7 月起，李易任約翰斯·霍普金斯大學助理教授，主要從事理論凝聚態物理相關研究工作。
2018年，李易獲得美國斯隆研究獎物理學獎。該獎設立宗旨是獎勵那些在職業生涯早期的傑出年輕學者。
回到鐵磁性理論的研究，儘管已經取得了顯著進步，但距離問題的最終解決還有很遠。首先，空穴運動步長為奇數的時候，長岡-索利斯理論未必成立。此外，空穴數目必須等於 1，不能多也不能少，這顯然不符合事實。在金屬中，空穴數量非常龐大，甚至會佔據大部分晶格結構節點。
下一步，物理學家嘗試將長岡-索利斯理論推廣到多空穴系統。通過數值計算，有跡象顯示，有限尺寸的正方網格中，若有不超過20% 的空穴，長岡鐵磁體理論看上去仍然成立。基於田光善和沈順清曾逐步發展的方法，李易研究組進一步證明了在無限大的 2 維蜂窩網格和 3 維金剛石網格中，只要空穴數目不超過蜂窩網格總節點數的二分之一次方，或者金剛石網格總節點數的五分之二次方，長岡鐵磁體仍然可以存在。
李易認為，以上研究可望引出更能真實描述巡遊鐵磁性的模型。“它們不過是未來研究物理上更實際模型的起點。”
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