较为初等的方程法

奥数老师应该讲过循环小数化为分数的方程法，对于无限循环小数0.999……同样适用。

设0.999……=x，等式两边同时乘以10（也就是小数点向右移动一位）就可以得到9+0.999……=10x，也就是9+x=10x，得到x=1。这个方法是正确的，但并不严格。

为什么不严格

比如计算……111等于多少。也就是从个位开始十位、百位、千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位等等各位上的数字都是1，问这个数是多少？设……111=x,等式两边同时除以10（也就是小数点向左移动一位）,就可以得到……11.1=x/10，也就是x+0.1=x/10，解得x=-1/9，这无疑很荒谬。

用珠算来解决这个问题

下面我从珠算的角度来解释一下这两者为什么相等？我们需要一把普通的算盘，最好是上面两个珠下面五个珠的传统算盘，因为这样的算盘更便于进行除法的运算。在珠算口诀中有商九口诀，商九口诀其实就是用归除法打一归发现不够除之后再退商。

比如计算19÷19其实就等于1，如果用珠算打一规的话，也就是逢一进一、一九〇九两句口诀就可以搞定。换一个抬杠的人，就要用商九口诀打也行，我们就需要换一把无限档位的算盘了，可以想象一下这个算盘是什么样子。

先布数

见一无除作九一

减去九九八一

再进行见一无除作九一，减去九九八一的操作。

再进行一次

这个过程可以无限进行下去，就会得到19÷19等于0.999……。其实用下面的图或许更能说明问题。

多元视角

无限循环小数0.9 9的循环如何用分数表示？

在现有数学体系下，无限循环小数是被认为是有理数的，0.9 9的循环是等于1的，故0.9 9的循环可以用比值为1的分数表示，如9/9，3/3，6/6等。但这肯定是不合常规的，因为一个数比值精确的等于一个值，不会等于另一个值（比值的唯一性），故得出结论循环小数是有理数是不合理的，再说了，一个无限数等于一个有限数，确定不是搞笑的？为了解决该问题，孙氏数学被提出来了。

在孙氏数学体系下，无限循环小数是被认定为无理数的，0.9 9的循环是小于1的(各循环数都小于其近似对应的分数)，0.9 9的循环是不可以用分数表示的，0.9 9的循环的精确值是其本身，近似值是等于1的。如果想不明白的话，可以参考下√2。至于人们用并不存在一个数，使这个数在0.9 9的循环和1之间，说服自己0.9 9的循环等于1的问题，我个人认为也是有问题的，你找不到并不说明不存在。比如(1+0.9 9的循环)/2就是这样一个数(若a

个人观点，不喜勿喷。让系统思维焕发生机，让数学解题简洁高效，孙氏数学解题教程，始终与你在一起！

孙氏数学解题教程

这个题目在知乎悟空问答多次出现，转不过弯的很多。现在常见的数学结构是以极限重新构建，另外一种以无穷小构建非标准分析结构（非标准分析（概念上又可称为实无限分析）(英语：Non-standard analysis)是一个数学分支，它用严格定义的无限小的数（infinitesimal number）的概念来构建分析学。）
极限最本质的理解，扇人一个耳光，从物理角度我们知道，这耳光是无法直接接触到对方的，但别人说你打人了。极限也是如此，一个数无限趋于某个数，虽然永远不能到达，那就等于这个数，数学中的实数在任意小的区间有无穷个有理数和无穷个无理数。极限已经抛弃无穷小的概念，就不要去纠结无穷小，只有这样想才能转过弯来。
这个题目有一个更一般的定理。如图（悟空问答图片只能附在后面，不能中间插入，很是无语。）
再贴一个教科书中的理解。数学是建立在公理上逻辑自洽的系统，以极限建立的系统只能从极限来理解。就像欧氏几何，你从非欧几何角度找碴，那就没法说话了。循环小数更像一种找某个数的规则，0.9的循环，在数轴0和1的区间内，进行10等分，这个点在最后一个小区间内，对小区间继续10等分，这个点还是在最后一个区间内……根据极限规则，这个数就等于1。
对各种乱七八槽的解释看看就行，越看越糊涂，真正理解还是以教科书为准。

邓炜定

∞/∞+1=？

麻辣SC

无限循环小数0.999……其实等于1。证明用到了高等数学中的数列极限。看到前面的式子(※)是不是很惊讶，其实就是这样，看证明过程。

分享到:

關鍵字: 分数无限教育