在中考裡，二次函數背景下求三角形面積的題型，往往以壓軸題的形式出現，教學中發現同學們對此類題還不甚熟悉，為此本文再強調一次，以期同學們更好地掌握.
【題目呈現】
1.如圖，在平面直角座標系中，⊙A與x軸相交於C(一2，0)，D(一8，0)兩點，與y軸相切於點B(0，4).
(1)求經過B，C，D三點的拋物線的函數表達式;
(2)設拋物線的頂點為E，證明:直線CE與⊙A相切;
(3)在x軸下方的拋物線上，是否存在一點F，使△BDF的面積最大，最大值是多少？並求出點F的座標.
【分析】(1)用一般式或交點式或頂點式都可求出解析式為y=x²/4+5x/2+4.
(2)要證CE為⊙A的切線，則連AC，AE，證AC⊥CE，即∠ACE=90°，如圖
題中給出信息為數據信息，想到用構股定理的逆定理，由拋物線與圓都關於拋物線的對稱軸對稱，又由拋物線的解析式可知，頂點E的座標為(一5，一9/4)，∵⊙A與y軸相切於B點，∴半徑r=|xA|=|xE|=5，∴A點座標為(一5，4)，AE=yA一yE=4一(一9/4)=25/4，又可算出CE=15/4，∴AE²=AC²+CE²，∴∠ACE=90°，∴AC⊥CE，∴直線CE與⊙A相切
(3)欲求△BDF的最大面積時F點的座標及最大面積，我們聯想到①"鉛垂高，水平寬"面積法，②割補法，③切線法，④三角函數法，下面一一介紹.
(一)鉛垂高，水平寬，面積法
如圖，過點F作y軸的平行線FM，交x軸於點N，交BD於M，
設F(x，x²/4+5x/2+4)，由B，D兩點易求直線BD的解析式為y=x/2+4，∴M(x，x/2+4)∴MF=yM一yF=x/2+4一(x²/4+5x/2+4)=一x²/4一2x，∴S△BDF=S△DMF+S△BMF=1/2×MF×DN+1/2×MF×ON=1/2MF(DN+ON)=1/2(一x²/4一2x)×8=一x²一8x=一(x+4)²+16，∴當x=一4時，S最大=16，此時yF=一2，∴F(一4，一2)，∴x軸下方存在點F，使△BDF面積最大，最大值為16，此時點F的座標為(一4，一2).
(二)割補法
過點F作x軸的平行線FN交y軸於N，過D作DM⊥FN于于M，如圖
設F點座標為(x，x²/4十5x/2+4)，則BN=4一(x²/4+5x/2+4)=一x²/4一5x/2，DM=一x²/4一5×/2一4，MN=8，MF=x+8，FN=一x，∴S△BDF=S梯形DMNB一S△BFN一S△DMF=1/2(DM+BN)MN一1/2×DM×MF一1/2×FN×BN，代入數據化簡得S△BDF=一x²一8x，與方法一相同，不再敘述，就是化簡有點麻煩，考驗同學們的計算能力，建議用換元法，如設DM=a，BN=b代入化簡，或直接先寫DM，BN，最後再代入，比較簡單.
(三)切線法
如圖，平移直線BD，當平移後的直線L與拋物線相切時，切點F可確定，此時F到線段BD的距離最大，則S△BDF的面積最大，易求直線BD的解析式為y=x/2+4，可設直線L的解析式為y=x/2+b，聯立拋物線解析式得x²/4十2x+4一b=0，當△=0時有唯一公共點，此時解得b=0，直線L的解析式為y=x/2，它過原點，解y=x/2與y=x²/4+5x/2+4組成方程組得，×=一4，y=一2，∴F點座標為(一4，一2)，過F作FM⊥DB於M，過B點作BN⊥L於N，過F作FH⊥y軸於H，如圖
此時FM=BN，易知FO=2√5，，由△BNO∽△FOH，得BN/FH=OB/FO，即BN/4=4/2√5，∴BN=8√5/5，又BD=4√5，∴S△BDF=1/2×FM×BD=1/2×4√5×8√5/5=16，∴所有符合條件F點為(一4，一2)，S△BDF的最大值為16.
(四)三角函數法
如圖過點F作FN∥y軸交BD於M，過B作BH∥x軸，過D作DH⊥BH於H，過F作FQ⊥BD於Q
設F(x，x²/4+5x/2+4)，易求BD解析式為y=x/2十4，則M(x，x/2+4)，FM=x/2+4一x²/4一5x/2一4=一x²/4一2x，S△BDF=1/2×BD×QF=1/2×BD×MF×Sin∠FMQ=1/2BD×MF×MF×Sin∠BDH=1/2×BD×MF×HB/BD=1/2×MF×HB=1/2(一x²/4一2x)×8=一x²一8x，至此S△BDF的表達式與方法一相同，後續與第一問相同，不管哪種解法，只不過是從不同角度，運用不同的知識點，達到殊途同歸，同學們要多體會，多總結，舉一反三，融會貫通，下面給出一道練習題，試一試你的伸手，
如圖，拋物線y=ax²十bx+5/2與直線AB交於點A(一1，0)，B(4，5/2)，點D是拋物線A，B兩點間部分上的一個動點(不與點A，B重合)，直線CD與y軸平行，交直線AB於點C，連接AD，BD.
(1)求拋物線的解析式;
(2)設D點橫座標為m，△ADB的面積為S，求S取最大值時點C，點D的座標及S的最大值.
答案:(1)拋物線解析式為y=一x²/2+2x+5/2.(2)，C(3/2，5/4)，D(3/2，35/8)，S=一5m²/4十15m/4+5，S最大=125/16.
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