在中考里，二次函数背景下求三角形面积的题型，往往以压轴题的形式出现，教学中发现同学们对此类题还不甚熟悉，为此本文再强调一次，以期同学们更好地掌握.
【题目呈现】
1.如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C(一2，0)，D(一8，0)两点，与y轴相切于点B(0，4).
(1)求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的顶点为E，证明:直线CE与⊙A相切;
(3)在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF的面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标.
【分析】(1)用一般式或交点式或顶点式都可求出解析式为y=x²/4+5x/2+4.
(2)要证CE为⊙A的切线，则连AC，AE，证AC⊥CE，即∠ACE=90°，如图
题中给出信息为数据信息，想到用构股定理的逆定理，由抛物线与圓都关于抛物线的对称轴对称，又由抛物线的解析式可知，顶点E的坐标为(一5，一9/4)，∵⊙A与y轴相切于B点，∴半径r=|xA|=|xE|=5，∴A点坐标为(一5，4)，AE=yA一yE=4一(一9/4)=25/4，又可算出CE=15/4，∴AE²=AC²+CE²，∴∠ACE=90°，∴AC⊥CE，∴直线CE与⊙A相切
(3)欲求△BDF的最大面积时F点的坐标及最大面积，我们联想到①"铅垂高，水平宽"面积法，②割补法，③切线法，④三角函数法，下面一一介绍.
(一)铅垂高，水平宽，面积法
如图，过点F作y轴的平行线FM，交x轴于点N，交BD于M，
设F(x，x²/4+5x/2+4)，由B，D两点易求直线BD的解析式为y=x/2+4，∴M(x，x/2+4)∴MF=yM一yF=x/2+4一(x²/4+5x/2+4)=一x²/4一2x，∴S△BDF=S△DMF+S△BMF=1/2×MF×DN+1/2×MF×ON=1/2MF(DN+ON)=1/2(一x²/4一2x)×8=一x²一8x=一(x+4)²+16，∴当x=一4时，S最大=16，此时yF=一2，∴F(一4，一2)，∴x轴下方存在点F，使△BDF面积最大，最大值为16，此时点F的坐标为(一4，一2).
(二)割补法
过点F作x轴的平行线FN交y轴于N，过D作DM⊥FN于于M，如图
设F点坐标为(x，x²/4十5x/2+4)，则BN=4一(x²/4+5x/2+4)=一x²/4一5x/2，DM=一x²/4一5×/2一4，MN=8，MF=x+8，FN=一x，∴S△BDF=S梯形DMNB一S△BFN一S△DMF=1/2(DM+BN)MN一1/2×DM×MF一1/2×FN×BN，代入数据化简得S△BDF=一x²一8x，与方法一相同，不再叙述，就是化简有点麻烦，考验同学们的计算能力，建议用换元法，如设DM=a，BN=b代入化简，或直接先写DM，BN，最后再代入，比较简单.
(三)切线法
如图，平移直线BD，当平移后的直线L与抛物线相切时，切点F可确定，此时F到线段BD的距离最大，则S△BDF的面积最大，易求直线BD的解析式为y=x/2+4，可设直线L的解析式为y=x/2+b，联立抛物线解析式得x²/4十2x+4一b=0，当△=0时有唯一公共点，此时解得b=0，直线L的解析式为y=x/2，它过原点，解y=x/2与y=x²/4+5x/2+4组成方程组得，×=一4，y=一2，∴F点坐标为(一4，一2)，过F作FM⊥DB于M，过B点作BN⊥L于N，过F作FH⊥y轴于H，如图
此时FM=BN，易知FO=2√5，，由△BNO∽△FOH，得BN/FH=OB/FO，即BN/4=4/2√5，∴BN=8√5/5，又BD=4√5，∴S△BDF=1/2×FM×BD=1/2×4√5×8√5/5=16，∴所有符合条件F点为(一4，一2)，S△BDF的最大值为16.
(四)三角函数法
如图过点F作FN∥y轴交BD于M，过B作BH∥x轴，过D作DH⊥BH于H，过F作FQ⊥BD于Q
设F(x，x²/4+5x/2+4)，易求BD解析式为y=x/2十4，则M(x，x/2+4)，FM=x/2+4一x²/4一5x/2一4=一x²/4一2x，S△BDF=1/2×BD×QF=1/2×BD×MF×Sin∠FMQ=1/2BD×MF×MF×Sin∠BDH=1/2×BD×MF×HB/BD=1/2×MF×HB=1/2(一x²/4一2x)×8=一x²一8x，至此S△BDF的表达式与方法一相同，后续与第一问相同，不管哪种解法，只不过是从不同角度，运用不同的知识点，达到殊途同归，同学们要多体会，多总结，举一反三，融会贯通，下面给出一道练习题，试一试你的伸手，
如图，抛物线y=ax²十bx+5/2与直线AB交于点A(一1，0)，B(4，5/2)，点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点(不与点A，B重合)，直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设D点横坐标为m，△ADB的面积为S，求S取最大值时点C，点D的坐标及S的最大值.
答案:(1)抛物线解析式为y=一x²/2+2x+5/2.(2)，C(3/2，5/4)，D(3/2，35/8)，S=一5m²/4十15m/4+5，S最大=125/16.
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