在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或两条线之间的位置关系时，那么辅助线就粉末登场了，如何作辅助线需要根据已知条件确定，辅助线的添加既要可以产生新的条件，又要与题目中原有的条件相联系，否则，辅助线就随便作了，但其实作辅助线是有理由的，或者说，随便作出的辅助线对解题无用，下面通过例题加以说明.
方法一.加截线
类型1.连接两点
1.如图，∠E=∠B+∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由.
【分析】观察图形，AB与CD应是平行关系，如何证它们平行呢？自然联想证两线平行的六种方法，对照条件哪一种方法也不能用，我们就应该想到作辅助线，初一开始，我们作过已知直线的垂线，作过已知直线的平行线，小学学过三角形的内角和为180°，这样连接B，D两点，就出现了三角形BED，这样既能用三角形的内角和，同时又与∠E联系在一起，则在三角形BED中，∠E+∠EBD+∠EDB=180°，而条件中，∠E=∠B+∠D，∴∠B十∠D十∠EBD+∠EDB=180°，而∠B+∠EBD=∠ABD，∠D+∠EDB=∠CDB，∴∠ABD+∠CDB=180°，∴AB∥CD.
【解答过程】
解:AB∥CD，理由如下:
如图，连接BD.
在三角形BED中，∠E+∠1+∠2=180°(三角形的内角和，
∵∠E=∠3+∠4(已知)，
∴∠3十∠4十∠1+∠2=180°，
即∠ABD+∠CDB=180°，
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)
类型2.延长线段相交
2.如图，MN⊥AB于D，D为垂足，∠B=130°，∠FCB=40°，判断直线MN与EF的位置关系，并说明理由.
【分析】观察图形发现MN与EF可能平行，但题中没有直接判定两直线平行的条件，那么要说明MN∥EF，就必须设法构造具有同位角或内错角或同旁内角的基本图形，为两直线平行创造条件，那么就延长CB与MN相交，或延长AB与EF相交于G，接下来按图分析即可.
【解答过程】
解:MN与EF平行，理由如下:
如图，延长AB交EF于G，
∵∠ABC=130°(已知)
∴∠CBG=180°一∠ABC=180°一130°=50°(补角的定义)
又∵∠FCB=40°(已知)，
∴在三角形BCG中，∠BGC=180°一∠FCB一∠CBG=180°一40°一50°=90°(三角形的内角和)，
∵MN⊥AB于D(已知)
∴∠ADN=90°(垂直的定义)
∴∠ADN=∠CBG，
∴MN∥EF(同位角相等，两直线平行).
方法二.过"拐点”作平行线
类型.各种"拐点”型
3.如图，AB∥CD，P是AB，CD之间的一点，己知∠2=28°，∠BPC=58°，求∠1的度数.
【分析】条件:AB∥CD，结论:求∠1的度数，利用平行线的性质，必须有与平行线有关的角，而∠1，∠2，∠P都不是，所以我们需要构造平行线，使∠1，∠2，∠P成为与平行线有关的角，以便利用平行线的性质，如图，
过点P作射线PE∥AB，∵AB∥CD(已知)，
∴PE∥CD(平行于同一条直线的两直线平行)，
∴∠EPC=∠2=28°(两直线平行，内错角相等)，
∵PE∥AB(已作)，
∴∠1=∠BPE(两直线平行，内错角相等)，
又∵∠BPE=∠BPC一∠EPC=58°一28°=30°，
∴∠1=30°.
当然，本题也可仿照例1来做，也可过点P向左作射线PF∥AB，同学们自己试着做一下.
2.(1)如图①，若AB∥DE，∠B=135°，∠D=145°，求∠BCD的度数.
(2)如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由.
(3)如图②，AB∥EF，根据(2)中的猜想，直接写出∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
【分析】(1)有了平行线，而∠B，∠D又不能用，所以需作辅助线.第(2)问，第(3)问类似.
【解答过程】
解:(1)如图:
过点C作CF∥AB，
∴∠B+∠1=180°(两直线平行，同旁内角互补).
又∵AB∥DE(已知)，
∴CF∥DE(平行于同一条直线的两直线平行)，
∴∠2+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠B+∠1+∠2+∠D=180°+180°=360°即∠B+∠BCD=360°.
∴∠BCD=360°一∠B一∠D=360°一135°一145°=80°.
(2)∠B十∠BCD+∠D=360°.理由如下:
如上图，作CF∥AB，
∴∠B+∠1=180°(两直线平行，同旁内角互补).
又∵AB∥DE(已知)，
∴CF∥DE(平行于同一直线的两直线平行)，
∴∠2+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴∠B十∠1+∠2十∠D=180°+180°=360°，即∠B+∠BCD+∠D=180°.
(3)∠B+∠C+∠D+∠E=540°.
这一问步骤也好写，只不过多作了一条平行线，如下图:
4.如图∠BEC=95°，∠ABE=120°，∠DCE=35°，请问:AB与CD平行吗？说明理由.
解:AB∥CD.理由如下:如图:
过点E作EF∥CD，
∴∠FEC=∠DCE=35°(两直线平行，内错角相等)，
∵∠BEC=95°，∴∠BEF=95°一35°=60°.
又∵∠ABE=120°，∴∠ABE十∠BEF=180°，
∴AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行).
又∵EF∥CD(已作)，
∴AB∥CD(平行于同一条直线的两直线平行).
6.如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
解:∠BCD=∠B一∠D.理由如下:如图，
过点C作CF∥AB，
∴∠B=∠BCF(两直线平行，内错角相等).
∵AB∥DE，CF∥AB(已知)，
∴CF∥DE(平行于同一条直线的两直线平行)，
∴∠DCF=∠D(两直线平行，内错角相等).
∴∠B一∠D=∠BCF一∠DCF(等式性质)，
∴∠BCD=∠B一∠D.
7.如图，已知AB∥DE，∠BCD=30°，∠CDE=138°，求∠ABC的度数.
解:如图，过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，CF∥AB，
∴DE∥CF(平行于同一条直线的两直线平行)，
∴∠DCF=180°一∠CDE=180°一138°=42°，∴∠BCF=∠BCD+∠DCF=30°+42°=72°，
又∵AB∥CF(已知)，
∴∠ABC=∠BCF=72°(两直线平行，内错角相等).
8.如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线.
(1)求证:∠EOF=∠BEO+∠DFO;
(2)若将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠PEC之间会满足怎样的数量关系？并说明理由.
(1)证明:如图①，过点O向左作OM∥AB，
∴∠1=∠BEO(两直线平行，内错角相等).
∵AB∥CD，OM∥AB(已知)，
∴OM∥CD(平行于同一条直线的两直线平行)
∴∠2=∠DFO(两直线平行，内错角相等)，
∴∠1+∠2=∠BEO十∠DFO，即∠EOF=∠BEO+∠DFO.
(2):∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPF.理由如下:
过点O向左作OM∥AB，过点P向右作pN∥CD，如图.
∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠PFC.
∴∠1十∠2+∠PFC=∠BEO十∠3+∠4.
∴∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPF.
9.如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD=120°，求∠BED的度数.
解:过点F作FG∥AB，如图，
∴∠BFG=∠ABF(两直线平行，内错角相等).
又∵AB∥CD(已知)，
∴FG∥CD(平行于用一条直线的两直线平行)，∴∠CDF=∠DFG(两直线平行，内错角相等).
∴∠ABF+∠CDF=∠BFG+∠DFG=∠BFD=120°
∵BE平分∠ABF，DE平分∠CDF(已知)，
∴∠ABE=1/2∠ABF，∠CDE=1/2∠CDF(角平分线的定义)，
∴∠ABE十∠CDE=1/2(∠ABF十∠CDF)=60°，
过点E作EH∥AB，
∴∠BEH=∠ABE(两直线平行，内错角相等)，
∵AB∥CD(已知)，
∴EH∥CD(平行于同一条直线的两直线平行)，
∴∠DEH=∠CDE(两直线平行，内错角相等)，
∴∠BEH+∠DEH=∠ABE+∠CDE，
即∠BED=60°.
【总结】已知图形中有平行线，且有拐角时，常过拐点作平行线，构造出同位角、内错角或同旁内角，这样就可利用平行线下角的关系进行求解.
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