在解決平行線的問題時，當無法直接得到角的關係或兩條線之間的位置關係時，那麼輔助線就粉末登場了，如何作輔助線需要根據已知條件確定，輔助線的添加既要可以產生新的條件，又要與題目中原有的條件相聯繫，否則，輔助線就隨便作了，但其實作輔助線是有理由的，或者說，隨便作出的輔助線對解題無用，下面通過例題加以說明.
方法一.加截線
類型1.連接兩點
1.如圖，∠E=∠B+∠D，猜想AB與CD有怎樣的位置關係，並說明理由.
【分析】觀察圖形，AB與CD應是平行關係，如何證它們平行呢？自然聯想證兩線平行的六種方法，對照條件哪一種方法也不能用，我們就應該想到作輔助線，初一開始，我們作過已知直線的垂線，作過已知直線的平行線，小學學過三角形的內角和為180°，這樣連接B，D兩點，就出現了三角形BED，這樣既能用三角形的內角和，同時又與∠E聯繫在一起，則在三角形BED中，∠E+∠EBD+∠EDB=180°，而條件中，∠E=∠B+∠D，∴∠B十∠D十∠EBD+∠EDB=180°，而∠B+∠EBD=∠ABD，∠D+∠EDB=∠CDB，∴∠ABD+∠CDB=180°，∴AB∥CD.
【解答過程】
解:AB∥CD，理由如下:
如圖，連接BD.
在三角形BED中，∠E+∠1+∠2=180°(三角形的內角和，
∵∠E=∠3+∠4(已知)，
∴∠3十∠4十∠1+∠2=180°，
即∠ABD+∠CDB=180°，
∴AB∥CD(同旁內角互補，兩直線平行)
類型2.延長線段相交
2.如圖，MN⊥AB於D，D為垂足，∠B=130°，∠FCB=40°，判斷直線MN與EF的位置關係，並說明理由.
【分析】觀察圖形發現MN與EF可能平行，但題中沒有直接判定兩直線平行的條件，那麼要說明MN∥EF，就必須設法構造具有同位角或內錯角或同旁內角的基本圖形，為兩直線平行創造條件，那麼就延長CB與MN相交，或延長AB與EF相交於G，接下來按圖分析即可.
【解答過程】
解:MN與EF平行，理由如下:
如圖，延長AB交EF於G，
∵∠ABC=130°(已知)
∴∠CBG=180°一∠ABC=180°一130°=50°(補角的定義)
又∵∠FCB=40°(已知)，
∴在三角形BCG中，∠BGC=180°一∠FCB一∠CBG=180°一40°一50°=90°(三角形的內角和)，
∵MN⊥AB於D(已知)
∴∠ADN=90°(垂直的定義)
∴∠ADN=∠CBG，
∴MN∥EF(同位角相等，兩直線平行).
方法二.過"拐點”作平行線
類型.各種"拐點”型
3.如圖，AB∥CD，P是AB，CD之間的一點，己知∠2=28°，∠BPC=58°，求∠1的度數.
【分析】條件:AB∥CD，結論:求∠1的度數，利用平行線的性質，必須有與平行線有關的角，而∠1，∠2，∠P都不是，所以我們需要構造平行線，使∠1，∠2，∠P成為與平行線有關的角，以便利用平行線的性質，如圖，
過點P作射線PE∥AB，∵AB∥CD(已知)，
∴PE∥CD(平行於同一條直線的兩直線平行)，
∴∠EPC=∠2=28°(兩直線平行，內錯角相等)，
∵PE∥AB(已作)，
∴∠1=∠BPE(兩直線平行，內錯角相等)，
又∵∠BPE=∠BPC一∠EPC=58°一28°=30°，
∴∠1=30°.
當然，本題也可仿照例1來做，也可過點P向左作射線PF∥AB，同學們自己試著做一下.
2.(1)如圖①，若AB∥DE，∠B=135°，∠D=145°，求∠BCD的度數.
(2)如圖①，在AB∥DE的條件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之間的數量關係嗎？請說明理由.
(3)如圖②，AB∥EF，根據(2)中的猜想，直接寫出∠B+∠C+∠D+∠E的度數.
【分析】(1)有了平行線，而∠B，∠D又不能用，所以需作輔助線.第(2)問，第(3)問類似.
【解答過程】
解:(1)如圖:
過點C作CF∥AB，
∴∠B+∠1=180°(兩直線平行，同旁內角互補).
又∵AB∥DE(已知)，
∴CF∥DE(平行於同一條直線的兩直線平行)，
∴∠2+∠D=180°(兩直線平行，同旁內角互補)，
∴∠B+∠1+∠2+∠D=180°+180°=360°即∠B+∠BCD=360°.
∴∠BCD=360°一∠B一∠D=360°一135°一145°=80°.
(2)∠B十∠BCD+∠D=360°.理由如下:
如上圖，作CF∥AB，
∴∠B+∠1=180°(兩直線平行，同旁內角互補).
又∵AB∥DE(已知)，
∴CF∥DE(平行於同一直線的兩直線平行)，
∴∠2+∠D=180°(兩直線平行，同旁內角互補)，
∴∠B十∠1+∠2十∠D=180°+180°=360°，即∠B+∠BCD+∠D=180°.
(3)∠B+∠C+∠D+∠E=540°.
這一問步驟也好寫，只不過多作了一條平行線，如下圖:
4.如圖∠BEC=95°，∠ABE=120°，∠DCE=35°，請問:AB與CD平行嗎？說明理由.
解:AB∥CD.理由如下:如圖:
過點E作EF∥CD，
∴∠FEC=∠DCE=35°(兩直線平行，內錯角相等)，
∵∠BEC=95°，∴∠BEF=95°一35°=60°.
又∵∠ABE=120°，∴∠ABE十∠BEF=180°，
∴AB∥EF(同旁內角互補，兩直線平行).
又∵EF∥CD(已作)，
∴AB∥CD(平行於同一條直線的兩直線平行).
6.如圖，AB∥DE，則∠BCD，∠B，∠D有何關係？為什麼？
解:∠BCD=∠B一∠D.理由如下:如圖，
過點C作CF∥AB，
∴∠B=∠BCF(兩直線平行，內錯角相等).
∵AB∥DE，CF∥AB(已知)，
∴CF∥DE(平行於同一條直線的兩直線平行)，
∴∠DCF=∠D(兩直線平行，內錯角相等).
∴∠B一∠D=∠BCF一∠DCF(等式性質)，
∴∠BCD=∠B一∠D.
7.如圖，已知AB∥DE，∠BCD=30°，∠CDE=138°，求∠ABC的度數.
解:如圖，過點C作CF∥AB，
∵AB∥DE，CF∥AB，
∴DE∥CF(平行於同一條直線的兩直線平行)，
∴∠DCF=180°一∠CDE=180°一138°=42°，∴∠BCF=∠BCD+∠DCF=30°+42°=72°，
又∵AB∥CF(已知)，
∴∠ABC=∠BCF=72°(兩直線平行，內錯角相等).
8.如圖①，AB∥CD，EOF是直線AB，CD間的一條折線.
(1)求證:∠EOF=∠BEO+∠DFO;
(2)若將折一次改為折兩次，如圖②，則∠BEO，∠EOP，∠PEC之間會滿足怎樣的數量關係？並說明理由.
(1)證明:如圖①，過點O向左作OM∥AB，
∴∠1=∠BEO(兩直線平行，內錯角相等).
∵AB∥CD，OM∥AB(已知)，
∴OM∥CD(平行於同一條直線的兩直線平行)
∴∠2=∠DFO(兩直線平行，內錯角相等)，
∴∠1+∠2=∠BEO十∠DFO，即∠EOF=∠BEO+∠DFO.
(2):∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPF.理由如下:
過點O向左作OM∥AB，過點P向右作pN∥CD，如圖.
∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠PFC.
∴∠1十∠2+∠PFC=∠BEO十∠3+∠4.
∴∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPF.
9.如圖，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD=120°，求∠BED的度數.
解:過點F作FG∥AB，如圖，
∴∠BFG=∠ABF(兩直線平行，內錯角相等).
又∵AB∥CD(已知)，
∴FG∥CD(平行於用一條直線的兩直線平行)，∴∠CDF=∠DFG(兩直線平行，內錯角相等).
∴∠ABF+∠CDF=∠BFG+∠DFG=∠BFD=120°
∵BE平分∠ABF，DE平分∠CDF(已知)，
∴∠ABE=1/2∠ABF，∠CDE=1/2∠CDF(角平分線的定義)，
∴∠ABE十∠CDE=1/2(∠ABF十∠CDF)=60°，
過點E作EH∥AB，
∴∠BEH=∠ABE(兩直線平行，內錯角相等)，
∵AB∥CD(已知)，
∴EH∥CD(平行於同一條直線的兩直線平行)，
∴∠DEH=∠CDE(兩直線平行，內錯角相等)，
∴∠BEH+∠DEH=∠ABE+∠CDE，
即∠BED=60°.
【總結】已知圖形中有平行線，且有拐角時，常過拐點作平行線，構造出同位角、內錯角或同旁內角，這樣就可利用平行線下角的關係進行求解.
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