一道三零点参数取值范围问题的解法探究
(湖北省阳新县高级中学 邹生书 李儒水)
函数零点和参数取值范围问题是高考的热点和难点问题，本文探究一道有三个零点的函数的参数取值范围问题的解法。
1、问题再现
2、解法探究
本题表达简洁设置精巧，两问看似独立实则暗藏玄机，第2 问难度较大看似山穷水尽实则曲径通幽，若能认真观察深入挖掘，则可左右逢源柳暗花明。
按常规解法，接下来借助导数工具确定函数g(x)的单调性、值域并画出函数图象，继而数形结合求出参数a 的取值范围。
【评析】 分离参数法是一种常见方法，当参数是一次时可考虑分离参数法求参数取值范围。分离后将函数零点问题转化为动直线与定曲线的公共点问题，接下来借助导数工具研究函数的单调性、值域画出函数的图象，然后数形结合便可求出参数的取值范围。上述解法需要二次求导，另外，在求g(x)的值域时遇到了拦路虎，求∞／∞和 0／0型的极限需要用到高等数学洛必塔法则，解法所涉及知识超出了高中教材内容。
上述解法除了知识上超纲超标外，总体思维量并不大，对学习和掌握了洛必塔法则的学生来说，上述解法并不难接受。下面尝试对参数分类讨论的方法进行解答。
那么能否将a 的取值范围再进一步缩小？如果能猜出它的取值范围也好，则问题变成了证明题。现在解题限入困境很难前进一步，怎样突破瓶颈？题设条件似乎都用到了啊，还有什么可以考虑或利用的呢？本题有两问题，可尝试用第1 问的结论来解决第2 问。这个想法也很自然，解答题大多设置有两到三个小问题，问与问之间有的是毫不相干的并列关系，有的是相互关联的递进式，前面一问是命题人特意为后面一问降低难度而精心设计的台阶。了解这种命题方式，猜测命题人的心思，这对解题很有帮助，下面我们就顺着命题人的“思路”来尝试解答问题。
【作者简介】邹生书，男，湖北大学数学本科毕业，理学士学位，中学高级教师，黄石市高中骨干教师。主要从事高中数学教学、解题研究和探究性学习等。曾在《数学通报》、《数学通讯》、《数学教学》、《中学数学》 等全国20多种省级或国家级学术期刊上发表教学论文290多篇。指导的2012届毕业生潘明财、余敦刚撰写的论文《正多边形一个优美定值的研究性学习》，荣获《数学通讯》11年高中生数学论文竞赛特等奖，同时在《数学通讯》杂志上发表。（下图为作者近照）
“许兴华数学”是南宁三中许兴华老师的今日头条号或微信公众号（许兴华老师是中学高级教师，南宁市学科带头人），曾荣获得2016年数学文化杂志社主办的携手北京大学数学文化节“全国最红数学公众号”评选全国一等奖的第一名（详见上面的荣誉证书）。
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