萊布尼茨研究的問題以及研究的手法與牛頓不同，但是在本質上是一樣的，都用到了極限計算。萊布尼茨首先定義了函數，在他1673年的一部手稿中用到了function一詞，表示任何一個隨著曲線上的點變動而變動的量的縱座標，然後他研究曲線的切線。曲線的切線與導數有關，比速度更具有幾何直觀，並且與光學以及行星運動聯繫密切。對於給定的曲線
y=f(x)和點x0，我們希望得到過點A(x0,f(x0))的曲線的切線。如下圖：
圖1
點A(x0,f(x0))在曲線y=f(x)上，其中f(x0)為對應x=x0時y軸的座標。根據定義，切線是一條經過點A並且在點A附件與曲線僅有一個交點的直線。依據直線方程，我們只需要再求出切線的斜率就可以得到切線方程了。可是如何計算斜率呢？類似牛頓的思考，在x軸的x0處給一個增量h，於是在y軸的f(x0)處可以得到一個對應的增量m=f(x0+h)-f(x0)。如圖1所示，比值m/h為割線AB的斜率，其中B的座標為（x0+h，f(x0+h)）。顯然，當增量h趨於0時增量m也趨於0。可以想象這是割線AB與曲線將會只有一個交點，於是萊布尼茨定義這時的比值為切線的斜率，並且用符號dy/dx表示。這個符號研用至今，我們稱dy/dx為函數y對x的導數。經過大約十二年的努力，萊布尼茨於1684年在《教師學報》上發表了他的第一篇關於微積分的論文，這也是第一篇系統闡述微積分的論文。比較前文“微積分的思想分析---牛頓篇”中“瞬時速度=[f(t
0+△t)-f(t0)]/△t ”可以看到，萊布尼茨的方法與牛頓的方法實質是一樣的，並且與牛頓一樣，萊布尼茨也不能很好地解釋極限運算地規則。但是萊布尼茨是一位偉大地哲學家，面對來自各個方面地“過分苛刻”的批評，他在1695年的《教師學報》的文章中給出了富有哲理的，今天仍有價值的回答：“過分的審慎步應該使我們拋棄創造的成果。”同時，萊布尼茨進一步思考了無窮小量的階，認為當h是一個無窮小量時，諸如h2，h3這樣的h的任意次冪將是更小的量，可以忽略。1699年他在給朋友的一封信中寫道：“考慮這樣一種無窮小量將是有用的，當計算它們的比的時候，不把它們當作零，但是隻要它們與不可比較的大量一起出現時，就把它們捨棄。例如，如果我們有x+dx，就把dx捨棄。”
可以看到，萊布尼茨已經說出了我們今天在分析學中經常使用的高階無窮小的思想。如果曲線方程為y=ax2，類似前文“微積分的思想分析---牛頓篇”中
m/h=(39.2h+4.9h2)/h
=39.2+4.9h
的計算可以得到dy/dx=2ax,如果令a=4.9和x=4，則dy/dx=39.2，這與上式計算的結果是一致的。
微分遠沒有導數那樣直觀，但與導數有著密切的聯繫。當導數dy/dx=2ax時，對應的微分形式為dy=(2ax)dx。我們已知導數時，微分是函數增量的一個近似表達，當x得到一個增量dx時則y得到一個增量dy，這個增量是dx的一個線性函數，截距為0，斜率為導數。當然，這個增量必須非常小，否則會引起較大的誤差。
積分最初的目的是計算被曲線圍成的區域的面積。這是一個非常古老的問題，一直可以追溯到古希臘的歐多克斯和阿基米德。到了17世紀，藉助直角座標系，人們可以把這樣的問題闡述得更加清晰了。
圖2
如圖2，要計算曲線y=x2下，a≦x≦b的面積。因為我們會計算矩形的面積，於是就從矩形出發思考解決問題的方法。把區間[a,b]分為n等分，分點分別為x1,...xn-1,xn，其中xn=b，這樣可以得到n個寬為(b-a)/n，高為yi=xi2的小矩形，這些小矩形面積之和為
(b-a)•(x12+...+xn2)/n （1）
這個面積之和顯然要大於曲線下的面積，但是，當n逐漸增大時，面積之差將會逐漸減少。與求瞬時速度的想法一樣，如果n趨於無窮大(等價於1/n趨於0)時，上述面積之和就等於曲線下的面積。
下面我們來計算（1）式，由定義知道，對i=1,...,n，有xi=a+i(b-a)/n，因此（1）式可以寫為
[(b-a)/n]•[a2+(2a/n)(b-a)∑i+[(b-a)2/n2]∑i2]
其中，∑i表示對i由1到n求和，我們知道這個和等於(1/2)n(n+1)；∑i2表示對i2由1到n求和，這個和等於(1/6)n(n+1)(2n+1)。通過計算我們可以得到上式為：
(b-a)[a2+(1+1/n)a(b-a)+(b-a)2(1/3+1/2n+1/6n2)]
按照萊布尼茨的想法，高階無窮小1/n和1/n2的項都可以忽略，於是，我們得到區間[a,b]上曲線y=x2下的面積=(1/3)(b3-a3)
多麼美妙的計算方法，多麼美妙的結果！
可以把上面的計算方法推廣到一般，如果我們要計算曲線y=f(x)下，a≦x≦b的面積，對應於“瞬時速度=[f(t0+△t)-f(t0)]/△t ”式可以得到小矩形面積之和為
(b-a)∑(1/n)f(xi)
然後再計算求和，忽略高階無窮小。萊布尼茨是製造符號的高手，他把這一系列過程用一個拉長∑符號代替，把(b-a)/n用他曾發明的微分符號dx代替，於是有區間[a,b]上曲線y=f(x)下的面積∫baf(x)dx
於是，積分就建立起來了。由解析幾何知道，一個函數總能與一條曲線對應，於是積分就有了很好的直觀解釋：一個函數的積分就是對應曲線下的面積。
但是從上面的運算可以知道，求和並不是一件簡單的事情，是否有更加簡捷的方法來計算常見的函數的積分呢？還是來分析函數y=f(x)=x2，我們已經知道了這個函數的積分，如果令F(x)=x3/3,那麼，積分的結果就可以寫成F(b)-F(a)。容易驗證，F(x)的導數恰為f(x)，於是就再導數（微分）與積分之間建立起了橋樑：如果F(x)的導數為f(x)，那麼
∫baf(x)dx=F(b)-F(a)
為了紀念牛頓和萊布尼茨的貢獻，人們稱這個公式為牛頓-萊布尼茨公式。
容易看到，積分的本質也是利用了極限運算，可是對於具有如此威力的極限運算，人們依然不能清楚地表達這種運算的規則，因此不能給出合理的解釋。對於這個問題，將在後續“極限理論的建立”中予以闡釋。
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