在許多題目裡，在反比例函數圖象中，往往涉及三角形或四邊形的面積，一般靈活運用反比例函數係數K的幾何意義，或設出圖象上點的座標，再利用其他條件列出等量關係進行求解.下面給出幾個圖形.
題型一.反比例函數的係數K與面積的關係
1.如圖，正比例函數y=x與反比例函數y=1/x的圖象交於A，B兩點，BC⊥x軸於點C，則△ABC的面積為_______.
2.如圖，點P在y軸正半軸上運動，點C在x軸上運動，過點P且平行於x軸的直線分別交函數y=一4/x(x<0)和y=2/x(x>0)的圖象於A、B兩點，則△ABC的面積為______
3.如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函數y=6/x在第一象限的圖象經過點B，則△OAC與△BAD的面積之差S△OAC一S△BAD為______.
【分析】本題初看不好解答，但要求面積之差，大膽引進未知數，由題意可設OC=AC=a，AD=BD=b，則A點座標為(a，a)，B點座標為(a十b，a一b)，∵點B在y=6/x上，∴(a+b)(a一b)=6，即a²一b²=6，而S△OAC=a²，S△BAD=b²，所以本題答案為6.
4.如圖，點A，C為反比例函數y=K/x(x<0)圖象上的點，過點A，C分別作AB⊥x軸，CD⊥x軸，垂足分別為B，D，連接OA，AC，OC，線段OC交AB於點E，點E恰好為OC的中點，當△AEC的面積為3/2時，K的值為_____.
【分析】本題關鍵是由E為OC的中點，得到BE為△OCD的中位線，從而找到OD=2OB，進而找到CD與AB的關係，若設A點座標為(m，K/m)，則D點座標為(2m，K/2m)，則AB=K/m，CD=K/2m，則BE=K/4m，∴AE=K/m一K/4m，而DB=m一2m，可等同於△AEC，AE邊上的高，則AE×BD/2=S△AEC=3/2，即(K/m一K/4m)(m一2m)/2=3/2，解得K=一4，(仔細體會由中點這一條件，利用橫座標的倍比關係，建立縱座標乃至垂線段的關係同時引進了係數K，為建立含K的方程做出鋪墊).本題也可用S梯形CDBA=S△AOC=3，求出K，即(k/2m+K/m)(m一2m)/2=3，解得K=一4，這時利用於E為OC的中點，S△AEC=S△AOC/2.
5.如圖，一次函數y=Kx+b的圖象與反比例函數y=m/x的圖象交於點A(一3，m+8)，B(n，6)兩點.
(1)求一次函數與反比例函數的解析式;
(2)求△AOB的面積.
【分析】(1)求反比例函數解析式只須一個條件，求一次函數需兩個條件，將A點座標代入反比例函數解析式，建立關於m的方程，求得m=一6，則反比例函數解析式為y=一6/x，再代入B點座標，可求出n的值，則A，B兩點座標確定，設出一次函數解析式，代入A，B兩點座標，建立方程組，可確定一次函數解析式為y=一2x一4.(2)要求△AOB的面積，設AB與x軸交於C點，依託座標軸上的線段做底，將△AOB分為△AOC和△BOC，利用A，B兩點縱座標絕對值做高，可方便求出面積
S△AOB=S△AOC十S△BOC=2×2×1/2十2×6×1/2=2十6=8.
【第1題，第2題答案都為1】
題型二.利用面積求反比例函數的解析式
(一)已知三角形面積求函數解析式
6.如圖，在平面直角座標系中，直線AB與x軸交於點A(一2，0)，與反比例函數在第一象限內的圖象交於點B(2，n)，連接BO，已知S△AOB=4.
(1)求該反比例函數，及直線AB對應的函數解析式;
(2)若直線AB與y軸的交點為C，求△OCB的面積.
【分析】(1)由A點座標，可知OA=2，由S△AOB=4，可得|n|=4，因B點在第一象限，n>O，∴n=4，可知B點座標為(2，4)，可求反比例函數關係式為y=8/x，設出直線AB的解析式y=Kx+b，代入A，B兩點座標，可求直線AB解析式為y=x+2.(2)由於直線AB與y軸交於C點，可得C點座標為(0，2)，∴S△OCB=s△AOB一S△AOC=4一2×2×1/2=2.
(二)已知四邊形面積求函數解析式
7.如圖，在平面直角座標系中，雙曲線y=K/x經過平行四邊形ABCD的頂點B，D.點D的座標為(2，1)，點A在y軸上，且AD∥x軸，平行四邊形ABCD的面積為5.
(1)填空:點A的座標為_______;
(2)求雙曲線和AB所在直線的解析式.
【分析】(1)由AD∥x軸，C點座標為(2，1)，而A點在y軸上，∴A點座標為(0，1).(2).由雙曲線過點D(2，1)，可求雙曲線解析式為y=2/x.由於AD=2，平行四邊形的面積為5，可求AD與BC間距離為5/2，則原點到BC間距離為3/2，∴B點縱座標為一3/2，代入雙曲線解析式，可求B點橫坐枋為一4/3，∴B點座標為(一4/3，一3/2)，由A，B兩點座標可求直線AB的解析式為y=15x/8+1.
題型三.已知反比例函數解析式求圖形的面積
(一)利用對稱性求面積
8.如圖是由四條曲線圍成的廣告標誌，建立平面直角座標系，雙曲線對應的函數解析式分別為y=一6/x，y=6/x，現用四根鋼條固定這四條曲線，這四根鋼條所圍成的矩形ABCD的面積是多少？
【分析】由反比例函數圖象的對稱性可知，兩條座標軸將矩形ABCD分成四個全等的小矩形，∴S矩形ABCD=4×6=24.
(二)利用點的座標及面積公式求面積
9.如圖，一次函數y=Kx十b與反比例函數y=a/x的圖象在第一象限交於A，B兩點，點B的座標為(3，2)，連接OA，OB，過B作BD⊥y軸，垂足為D，交OA於C，若OC=CA.
(1)求一次函數和反比例函數的解析式i
(2)求△AOB的面積.
【分析】(1)由B點座標可求反比例函數解析式為y=6/x，過點A作AF⊥x軸，垂足為F，交BD於E，則EF=2，∵BD⊥y軸，OC=CA，∴AE=EF=AF/2，∴AF=4，即A點縱座標為4，代入反比例函數解析式，可求橫座標為3/2，∴A點座標為(3/2，4)∴一次函數解析式可求為y=一4x/3+6.
(2)設AF與OB交於點G，∵B點座標為(3，2)，可求直線OB的解析式為y=2x/3，∴可求G點座標為(3/2，1)，∴AG=3，∴S△AOB=S△AOG+S△ABG=1/2×3×3=9/2.
(三)利用面積關係求點的座標
10.如圖，在平面直角座標系中，OA⊥OB，AB⊥x軸於點C，點A(√3，1)在反比例函數y=K/x的圖象上.
(1)求反比例函數y=K/x的解析式.
(2)在x軸的負半軸上存在一點P，使得S△AOP=1/2S△AOB，求點P的座標，
(3)若將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE.直接寫出點E的座標，並判斷點E是否在該反比例函數的圖象上，說明理由.
【分析】(1)由A(√3，1)在反比例函數圖象上，可得K=√3，解析式為y=√3/x.
(2)由A(√3，1)，AB⊥x軸，∴OC=√3，AC=1，∴OA=2，∴∠AOC=30°，又∵OA⊥OB，∴∠COB=60°，則∠OBC=30°，∴OB=2√3，BC=3，∴B點座標為(√3，一3)，那麼S△AOB=2√3，則S△AOP=1/2S△AOB=√3，若設點P座標為(m，0)，則1/2×|m|×1=√3，∴|m|=2√3，由於P點在x軸的負半軸上，∴P點座標為(一2√3，0).
(3)由於將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE，則△BOA≌△BDE，∴∠OBD=60°，BO=BD=2√3，OA=DE=2，而∠OBC=30°，∴∠ABD=90°，而BD一OC=√3，BC一DE=1，∴E點座標為(一√3，一1)，∵一√3×(一1)=√3，∴E點在反比例函數的圖象上.
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