學習瞭解分式方程以後，不少同學把增根與無解混為一談，為了掌握這兩個概念，現舉例說明它們的區別和聯繫.
一.什麼是分式方程的增根？
解分式方程時，由於在去分母把分式方程轉化為整式方程這一變形中，未知數允許取值的範圍擴大了，分式方程本身隱含著分母不為零的條件，如果轉化過程中，方程的兩邊同乘了一個可能使分母為零的整式，即整式方程的根恰好有使原方程中分母的值為零，那麼就會出現了不適合原方程的根，即增根，如:
解方程:1/x+3/(x一2)=一2/[x(x一)]......<1>
解:去分母，得(x一2)+3x=一2.......<2>
解得x=0
檢驗，x=0時原方程無意義.
所以，x=0是增根，原方程無解.
顯然，方程<1>中x≠0且x≠2，而去分母化為方程<2>時，未知數x的取值範圍擴大為全體實數，由方程<2>解出的未知數的值有可能不是原方程<1>的解，有可能出現增根，困此要檢驗.
那麼怎樣才能求出分式方程的增根呢？分式方程的增根必須滿足兩個條件，①分式方程去分母變為整式方程後，這個整式方程有解，增根是這個整式方程的解;②增根使分式方程的分母為零(或使最簡公分母為零.
如，關於分式方程3/(x²一x)+6/(1一x²)=7/(x²+x)的增根情況，下列說法正確的是(_____)
A.有增根是0和一1.B.有增根是0和一1、1
C.有增根是一1，D.有增根是1
一般，學生會假定最簡公分母x(x+1)(x一1)，得出B選項，那就錯了.先看解答.
解:方程去分母得，3(x+1)一6x=7(x一1)
解得x=1，
檢驗，x=1時，x(x+1)(x一1)=0
所以，x=1是增根，原方程無解.
通過解答應選(D)，所以說，求增根應通過動手計算才能得出，不能用最簡公分母為零求得，這裡x=1，滿足上面所說的兩個條件，是增根，而x=0或x=一1就不是化簡後整式方程的根，就不是增根，儘管它們能使最簡公分母為零.
二.解分式方程"必須檢驗”的原因
解分式方程比解整式方程的步驟多一步檢驗，這個檢驗不是檢驗計算過程是否正確，而是檢驗是否出現在化整式方程時所乘的最簡公分母是否為0，當它為0時，未知數的值就是方程的增根.增根是方程正常變形造成的，不是解題中運算造成的，因此解分式方程時要檢驗求得的整式方程的根是否是增根.
三.什麼是分式方程的無解？
方式方程的無解是指分式方程本身就是一個矛盾等式，不論未知數取何值都不能使方程兩邊的值相等.如2/x=0，不論x取何值，都不能使方程成立，這個方程無解.分式方程無解包括兩種情況:一種情況是分式方程變形後，整式方程本身無解;另一種情況是整式方程有解，但這些解使最簡公分母的值都為零，即為分式方程的增根，所以原分式方程無解.
例1.解方程.(x一1)/(2+x)=(3一x)/(2十x)+2
解:方程兩邊同乘(2+x)，得
x一1=3一x+2(2+x)
整理得0x=8
此方程無解，所以原分式方程無解.
例2，解方程x/(x一1)一1=3/[(x一1)(x+2)]
解:方程兩邊同乘(x一1)(x+2)，得
x(x+2)一(x一1)(x+2)=3
整理得x十2=3
解得x=1
檢驗，x=1時，(x一1)(x+2)=0，故x=1是原分式方程的增根，原分式方程無解.
以上兩例造成分式方程無解的原因不同，例1方程無解是因為分式方程化為整式方程後，整式方程本身無解，例2是分式方程化為整式方程後，整式方程有解，但這個解是增根，則原分式方程無解.
三.有增根的分式方程就是無解方程，無解的分式方程一定有增根嗎？
有增根的分式方程不一定無解，無解的分式方程也不一定有增根.如，
解方程:2x/(x十1)十1/(x²十x)=(x十1)/x.
解:去分母，得x(x一2)=0
解得x=2或x=0，此時x=0是增根，原方程並非無解，還有一根x=2，而像方程(x十2)/x=1，去分母化為，0=一2，此方程雖無解，但原方程無增根.
四.在分式方程有增根或無解條件下，如何求含參數的值呢？
(一)在分式方程有增根條件下求參數的值
我們知道，增根不是原分式方程的根，但它是去分母后所得整式方程的根，同時增根還能使原方式方程的最簡公分母為零.利用這一點就能解一類含參數的習題.
例1.若關於x的方程1/(x一1)+2/(x+2)=K/(x²+x一2)會產生增根，求K的值.
解:原方程去分母，得(x+2)十2(x一1)=K
因為原方程的最簡公分母為(x一1)(x十2)，所以方程的增根可能是x=1，或x=一2.若增根為x=1，代入(x+2)+2(x一1)=K，得K=3;若增根為x=一2，代入(x+2)十2(x一1)=K，得K=一6，
所以，K=3或K=一6時原方程會產生增根.
例2.m為何值時，關於x的方程2/(x一2)十mx/(x²一4)=3/(x+2)會產生增根？
解:原方程去分母，得2x+4+mx=3x一6
整理，得(m一1)x=一10
當m≠1時，x=一10/(m一1)
若方程產生增根，此時(x+2)(x一2)=0，x=2或x=一2
(1)若x=2，則一10/(m一1)=2，m=一4.
(2)若x=一2，則一10/(m一1)=一2，m=6.
綜上，當m=一4或6時，原方程產生增根.
(二)分式方程無解條件下求參數的值
例1.若關於x的方程(4一ax)/(x+2)=3無解，求a的值.
解:原方程變形，得4一ax=3x十6，即(a+3)x=一2
(1)當a+3=0時，a=一3，整式方程(a十3)x=一2無解，則原分式方程無解.
(2)當a+3≠0，即a≠一3時，有x=一2/(a+3)因原分式方程無解，故x+2=0，x=一2，∴一2/(a+3)=一2，解得a=一2.
綜上所述，當a=一2或a=一3時，原分式方程無解.
例2.若關於x的分式方程(x一m)/(x一1)一3/x=1無解，求m的值.
解:原方程兩邊同時乖以x(x一1)，得
x(x一m)一3(x一1)=x(x一1)
整理，得(m+2)x=3
(1)當m+2=0時，m=一2，整式方程(m+2)x=3，無解，則原分式方程無解.
(2)當m+2≠0，即m≠一2時，有x=3/(m+2)因原分式方程無解，∴x=0，或x=1，而x=0時整式方程為0=3，無解;x=1時，3/(m+2)=1，解得m=1.
綜上所述，當m=1或m=一2時，原分式方程無解.
五.分式方程出題時，出現增垠與無解該如何區分？(或增根與無解是什麼關係)
常見有三種情況:
(一)無解=增根
如.當K為何值時，方程x/(x一3)一4=k/(x一3)無解.
解:方程兩邊同乘(x一3)，得
x一4(x一3)=K
整理，得x=一(K一12)/3，因為方程無解，所以x=一(K一12)/3是分式方程的增根，而由x一3=0，得增根是x=3，∴一(K一12)/3=3，解得K=3，
此題中，無解與增根，意義一樣.
(二)無解>增根，有些題目中無解比增根的範圍大，如:
若關於x的分式方程(2a+1)/(x+1)=a無解，則a的值是多少？
解:分式方程兩邊同乘(x+1)，得
2a+1=ax十a，即ax=a+1
未知數x前邊帶了含字母的係數，需討論
(1)若a=0時，則整式方程無解，原分式方程也無解.
(2)若a≠0，則x=(a+1)/a，∵分式方程的增根為x=一1，若分式方程無解，則(a十1)/a=一1，解得a=一1/2.
∴當a=0或a=一1/2時，原方程無解.
此時，無解>增根，若此題改為，若關於x的分式方程(2a+1)/(x+1)=a有增根，則a的值為多少？就不存在a=0的情況了，只能是a=一1/2.
(三)無解≠增根
如，方程1/(x一5)=0，此方程無解，也並不是因為增根造成的無解，所以這種情況，無解≠增根.
【總結】通過上例分析，對分式方程涉及無解和增根問題，求解方法如下:
(1)找準最簡公分母，並使分式方程兩邊每一項同時乘以它，得到一個整式方程.
(2)整理所得的整式方程，化為ax=b的形式
(3)觀察未知數x的係數
①當未知數的係數是不含字母的數字時，此時原分式方程的無解或有增根是一樣的，都只有唯一的答案，只需直接解出未知數的值，這個值使得最簡公分母為零，從而求出相應的字母的值即可.
②當未知數的係數是含有字母的單項式或多項式時，此時原分式方程無解或有增根的情況就不同了.無解，要分整式方程無解(未知數的係數等於0)和整式方程有解(未知數的係數不等於0)，但分式方程無解(最簡公分母等於0)兩種情況討論.增根，只是無解的一種情況，解出整式方程後，滿足最簡公分母為0，再求出相應字母的值即可.
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