無論我們是哪裡的老師，做的事情幾乎都是上課、作業、測驗和培輔。可是，同樣的事情，有的人就是效率更高，要麼花的時間更少，要麼達到的效果更好。
要想提高教學效率，我們需要先了解一個問題：學生是怎樣學好數學的？
前文《新接班級的第一節數學課，和學生聊什麼更有效？》中提到，學生學習數學的基本路徑，就是積累知識點。因此，學好數學的根本，就是有效地積累每一個知識點。
那麼學生是怎樣積累一個知識點的呢？
先說一個親身經歷。
剛出來工作時，需要擺弄許多Excel表格，處理各種信息。我經常面對的一個問題，就是想從一份表格的信息中，快速找到我想要的信息，然後把它弄到新的表格中，比如從年級全體新生的信息表中，找到自己班級學生的身份證號，然後彙總成一份自己班級學生的身份證號彙總表。
我能想到的辦法，就是對原始表格進行分類排序，接著人工查找，然後複製粘貼，粘貼完再處理下一個。這個過程耗費了大量的時間，也消磨了大量的精力，通常做完後，我已經不想幹別的了。
後來，有個教電腦的同事給大夥發了一份“神奇”的表格，說只要輸入一次信息，所有相關表格的數據都會跟著改變！震驚之餘，我趕緊仔細地檢查那份表格，發現了其中的秘密武器，就是Excel中的Vlookup函數。
我接下來做了三件事情。
第一件事，就是搞懂Vlookup函數到底是什麼鬼。通過上百度和查看官方文檔，我大概瞭解了這個函數的基本格式。接著，我隨意翻出一份表格，依葫蘆畫瓢地嘗試。有時用對了，自己驚喜一下；有時出現bug，就查查是什麼原因。搗鼓了好長的一段時間，我才似乎終於弄懂了這個函數的適用範圍和使用方法。
弄懂以後，我做的第二件事，就是瘋狂練習。年級一有表格發下來，我就感到興奮，因為Vlookup函數能派上用場了；年級沒有新發的表格，我就自己想出一些名堂，比如統計每個班的男生女生的情況。剛開始，我還需要把Vlookup的公式抄在一張便利貼上，然後笨拙地敲鍵盤；到了最後，幾個快捷鍵三兩下就把函數命令搞定了。這時，Vlookup函數成了我腦子裡的一件思考工具。
第三件事，就是在接下來的工作與生活中，當遇到了新的問題，我都會想想能不能用Vlookup函數來解決。比如去年中考期間，我收集了一年的階段成績，設計了一個表格，用這個函數統計出了年級各班的數學成績實力中樞。在今年新接了班級以後，我利用這個表格，很快得到了自己班級過去在年級中的大致實力。這能幫助我設定更加合理的預期，尋找更有針對性的策略。
有的人可能要舉手發表意見了：“我對你的經歷沒興趣，趕緊說重點！”好的，其實學生積累一個知識點的過程，跟我上述的經歷是類似的。
積累的開始，是學生遇到一個問題需要解決。比如判斷牆上的兩根木條是不是平行，我們都知道，這個問題實際上是判斷兩條直線是否平行。
為了解決問題，學生通常的習慣是尋求記憶，看看之前有沒有成功解決問題的經歷，比如利用測量儀檢查門窗的邊沿是否平行。如果有，就直接搬過來；如果沒有，就需要調用其他已經存在腦子裡的知識，也叫既有知識，比如平行線的定義。
有時候，既有知識可能沒有辦法解決問題，或者即使能解決，也需要付出極大的代價。比如學生想利用平行線的定義來判斷木條平行，即“永不相交的兩條直線”，就沒有辦法操作，你總不能把兩根木條無限延長吧！
這時，學生就需要找到一個新的切入點，比如想判斷兩條直線是否平行，可以選擇引入另一個可以測量的圖形，也就是角。產生角的一個辦法，就是加入一條新的直線，穿過兩條已知的直線。這條新的直線，我們習慣稱為截線。這樣，學生就可以得到一個“三線八角”的模型。
接下來，學生從“三線八角”的模型中，找出三種特殊位置的角，即同位角、內錯角和同旁內角，通過觀察它們之間的關係與兩條直線位置關係的相關性，可以總結出判斷平行的三種思路，即同位角相等、內錯角相等和同旁內角互補，這就是一個知識點。
在總結知識點的同時，學生還會在頭腦中形成一個“If...then...”的思考迴路，即“If 需要判斷兩條直線是否平行，then 尋找相等的同位角和內錯角，或者互補的同旁內角”。
有了思考迴路，不代表就能隨時觸發。學生要麼無法意識到需要判斷平行，要麼無法意識到要尋找三種特殊的角。因此，學生需要足夠多的刻意練習，讓大腦對這個思考迴路的觸發達到自動化，就好比寫自己名字那樣不假思索。這時，我們可以說，學生鞏固了這個知識點。
知識點得到了鞏固，就算是積累了嗎？不！學生還需要做到兩件事，一件是把新問題轉化為判斷直線平行，從而觸發這個知識點，比如判斷兩條公路是否會相交；另一件是把這個知識點與其他知識點配合起來，解決一些複雜的題目，比如判斷一個四邊形是否為菱形。這時，我們可以說，學生實現了知識點的遷移。
總結起來，學生要想有效地積累一個知識點，就需要經歷五個環節，分別是明確問題、獲取思路、形成新知、鞏固新知和新知遷移。
明確問題為知識點的積累提供了初始的動力，獲取思路是形成知識點的前提，而知識點的形成、鞏固和遷移，則是學生把知識點進行內化的核心，缺一不可。
瞭解這些，對我們有什麼幫助呢？
首先，要想激發學生的主動性，一個有效的辦法，就是花點時間和他們解釋：“我們到底要做什麼？”我們容易犯的一個錯誤，就是急切地向學生灌輸知識點，比如一來就讓學生畫出“三線八角”，接著蹦出同位角、內錯角和同旁內角的概念，然後就讓學生趕緊得出三個判定方法。學生莫名其妙地做了半天，也沒搞懂為什麼要做這些事情，結果只能死記結論，當然忘得也快。
其次，要想幫助學生鞏固知識點，最好先確保他們度過了形成階段。我們容易犯的另一個錯誤，就是在學生對知識點還一知半解的時候，就給他們一大堆的練習。有的老師見學生不會做，還會情緒上來：“這個不是講過了嗎？怎麼還不會！”其實，磨刀不誤砍柴工，在學生理解新知識的時候，不妨放慢速度，多用不同的方法。這麼一來，或許等到學生理解了，能做練習的時間不會太多，但是練習的效率會高得出奇。再說，學生還沒理解時，做練習的效率極低，花的時間也不見得會少到哪裡去。
再次，要想在教學中減少無用功，我們可以保持關注學生處在哪個狀態。如果學生還不知道要幹嘛，就先花時間解釋問題所在；如果學生還沒明白思路，就多找辦法幫助學生理解；如果學生理解了，就給學生足夠多的刻意練習；如果學生掌握了，就放手讓其研究更有挑戰性的難題。
提高教學效率的核心思路，就是做更少但更好的事情。瞭解學生的學習歷程，可以讓我們少花不必要的功夫，同時採取更有針對性的行動，從而讓自己的時間得到有效地釋放。
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